Introduzione

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E

ELEMENTO di un insieme (IN) - Concetto primitivo della teoria degli INSIEMI, non possiede quindi una definizione precisa. Un E. è ciò che appartiene ad un insieme; quindi la caratteristica principarle di un E. è il fatto che appartenga o meno ad un determinato insieme.
Complementariamente, un insieme è caratterizzato dagli E. che vi appartengono.

ELEVAMENTO A POTENZA (AR, AL) - Operazione binaria, definita nell'ambito dei numeri reali.
È introdotta partendo dai numeri naturali, come scorciatoia della MOLTIPLICAZIONE, nel caso i fattori siano tutti uguali tra loro; è definita nel seguente modo: un numero x (chiamato base della potenza) elevato ad un secondo numero y (chiamato esponente) ha come risultato un numero x ^y (chiamato pontenza) ottenuto dal prodotto di x per se stesso, tante volte quanto è il valore di y. Ad esempio si scrive:

• x ¹ = x
• x ² = x · x
• x ³ = x · x · x
• x ⁿ = x · x · x · ... · x · x (n volte)

Gode di proprietà particolari, che ci permettono di estendere tale operazione sia ai numeri interi relativi, sia ai numeri razionali; in particolare:

• x ^m · x ⁿ = x ^{m + n}
• x ^m ∶ x ⁿ = x ^{m − n}
• x ^-1 = 1/x
• x ^m · y ^m = (x · y) ^m
• x ^m ∶ y ^m = (x ∶ y) ^m
• ( x ^m ) ⁿ = x ^{m · n}
• ⁿ√ x = x ^{1 / n}
• ⁿ√ x ^m = x ^{m / n}

Quindi ad esempio: 3 ^1,25 = 3 ^{5 / 4} = ⁴√ 3 ⁵

Tabella di alcune potenze dei primi numeri naturali:

L'elemento neutro (a destra) è l'uno: elevando alla uno qualunque numero x, la potenza corrisponde a numero x iniziale (non vale se 1 si trova alla base):

x ¹ = x

L'E. a potenza possiede anche un elemento annullatore, lo zero, che si comporta in modo differente se si trova alla base o all'esponente: elevando alla zero qualunque numero x ≠ 0, il prodotto corrisponde sempre a uno:

x ⁰ = 1

mentre elevando zero ad un qualunque esponente n ≠ 0, il prodotto corrisponde sempre a zero:

0 ⁿ = 0

l'espressione 0 ⁰ è un'espressione priva di significato in matematica, e si può prendere in considerazione solo all'interno dello studio dei limiti come forma indeterminata.

Per quanto riguarda il segno della potenza, se x > 0, allora:

• x ⁿ > 0 ∀ n;

se al contrario x < 0, allora:

• x ⁿ > 0 se n è pari;
• x ⁿ < 0 se n è dispari;
• x ⁿ non esiste se n è un numero decimale.

ELLISSE (GA) - Figura geometrica piana, appartenente all'insieme delle CONICHE, definita come luogo dei punti del piano per i quali la somma delle distanze dai due fuochi è costante. Nel piano cartesiano i punti appartenenti all'E. centrata nell'origine verificano l'equazione canonica:

x²/a² + y²/b² = 1

Per approfondire, visita la pagina del sito dedicata all'ellisse.

ENDOMORFISMO (AL) - Particolare tipo di omomorfismo (ossia di applicazione lineare) in cui lo spazio iniziale e lo spazio finale coincidono.

ENUNCIATO (LO, AL, GE) - Parte principale di un TEOREMA o di una proposizione, costituita da una implicazione o da una coimplicazione; quindi un E. in genere è diviso in una ipotesi e una tesi.

EQUAZIONE (AL) - Problema algebrico in cui si confrontano due espressioni letterali (chiamati membri dell'e..), cercando di determinare per quali valori di una o più lettere (chiamate INCOGNITE), il primo membro ha un valore uguale del secondo; risolvere un'E. vuol dire determinare tali valori, e tali valori vengono chiamate SOLUZIONI dell'E. o radici
Relativamente al tipo di espressioni presenti, una d. si dice:

• E. intera se compaiono solo polinomi.
• E. fratta se compaiono frazioni aventi incognite al denominatore.
• E. razionale se tra le incognite sono legate solo dalle 4 operazioni.
• E. irrazionale se compaiono anche radici aventi incognite nel radicando.
• E. algebrica se compaiono solo le quattro operazioni, le potenze o le radici con incognite nel radicando.
• E. trascendente se non è algebrica.
• E. goniometrica se compaiono funzioni goniometriche aventi incognite nell'argomento.
• E. esponenziale se compaiono potenze aventi incognite nell'esponete.
• E. logaritmica se compare la funzione logaritmo avente incognite nell'argomento.
• E. differenziale se come incognite non compaiono solo lettere ma intere funzioni e loro derivate.

Relativamente al tipo di soluzioni ammissibili, un'E. si dice:

• E. determinata se è verificata solo per alcuni valori delle incognite.
• E. indeterminata se è verificata per infiniti valori delle incognite; in particolare, se tale E. è verificata per ogni valore possibile, si chiama identità.
• E. impossibile se non è alcun valore delle incognite.

Per risolvere una E. è possibile applicare due principi di equivalenza, che permettono di trasformare un'E. in una equivalente (avente cioè le medesime soluzioni). Tali principi sono:

• Primo principio di equivalenza per le E. ad ogni membro di una E. è possibile addizionare o sottrarre una stessa quantità algebrica, ottenendo un'E. equivalente a quella data.
• Secondo principio di equivalenza per le E. ogni membro di una E. può esser moltiplicato o diviso una stessa quantità algebrica, purchè sia diversa da zero, ottenendo un'E. equivalente a quella data.

Per approfondire la risoluzione di una E. visita la pagina del sito nella sezione di Algebra dedicata alle equazioni.

EQUIVALENZA (IN, AL, GE, LO) - RELAZIONE binaria tra due insiemi, che gode delle PROPRIETÀ riflessiva, simmetrica e transitiva; alcuni esempi di relazione d'E. sono: la congruenza o la equiscomponibilità tra figure, l'equipollenza tra vettori, la partià dei numeri naturali. In dettaglio l'E. in matematica ritrova nelle seguenti situazioni:

• E. di proposizioni (LO, AL) - due proposizioni logiche sono equivalenti se affermano lo stesso concetto, con la medesima tabella di verità: la proposizione non esistono mucche gialle è equivalente alla proposizione tutte le mucche esistenti non sono gialle.
• E. di figure (GE) - due figure geometriche piane sono equivalenti se hanno la stessa area; due figure solide sono equivalenti se hanno lo stesso volume.
• E. di equazioni (AL) - due equazioni sono equivalenti se ammettono lo stesso insieme di soluzioni: l'equazione x + 2 = 6 è equivalente all'equazione 2x – 1 = 7, in quanto hanno entrambe come unica soluzione x = 4;

Ogni relazione di E. definisce una o più classi di E. ossia dei sottoinsiemi formati da elementi tutti equivalenti tra loro; due elementi equivalenti si trovano nella stessa classe, mentre due elementi non equivalenti si trovano in classi diverse; quindi le classi formano una partizione dell'insieme iniziale, in quanto un elemento non può trovarsi in due classi diverse e non esistono elementi senza classe; l'insieme di tutte le classi di E. di un insieme si chiama insieme quoziente.

ESAGONO (GE) - figura geometrica piana delimitata da una spezzata chiusa e non intrecciata di 6 lati: è un POLIGONO che possiede 6 lati, 6 angoli, 9 diagonali. Per approfondire vedi le pagine sui poligoni.

ESPONENTE (AR, AL) - numero reale, secondo termine dell'operazione di elevamento a potenza. In particolare:

• se l'E. è un numero naturale, indica quante volte il numero 1 deve esser moltiplicato per la base, per ottenere il risultato;
• se l'E. è zero, (e la base un qualunque altro numero) il risultato rimane 1;
• se l'E. è un numero intero negativo, indica quante volte il numero 1 deve esser diviso per la base, per ottenere il risultato;
• se l'E. è una frazione, il numeratore si comporta come un numero intero, mentre il denominatore indica l'indice della radice da cui estrarre il risultato.

ESPONENZIALE (AL, AM) - FUNZIONE in cui l'incognita si trova all'esponente:

ƒ(x) = a^x

In cui la base ha valore costante positivo e diverso da uno. Tale funzione gode delle seguenti proprietà:

• il suo dominio naturale è tutto l'insieme dei numeri reali ℝ
• il suo codominio è tutto l'insieme dei numeri reali positivi ℝ⁺ escluso lo zero
• è una funzione monotona: è crescente se la base à maggiore di uno (a>1); è decrescente se la base à minore di uno (0<a<1);
• per qualunque valore della base a, passa nel punto (0;1), in quanto ogni numero elevato alla zero ha come risultato uno.
• la sua derivata è la funzione ƒ ′(x) = a^x ln(a)
• la funzione inversa della funzione esponenziale è la funzione LOGARITMICA

ESPRESSIONE (AL) - Insieme di operazioni tra numeri e lettere, in cui possono comparire anche parentesi per cambiare il normale ordine di priorità delle operazioni.

ESTRAZIONE A RADICE (AR, AL) - Operazione inversa dell'elevamento a potenza:

ⁿ√ x = y   ⇔   x = y ⁿ

Dove √   è il simbolo di radice; l'espressione interna x si chiama RADICANDO, mentre il numero esterno n ≠ 0 prima di √ si chiama INDICE della radice. L'espressione formata dal simbolo di E. a radice, dall'indice e dal radicando si chiama RADICALE.
Tramite questa operazione si cerca di trovare un numero x che, elevato all'indice della radice n, dia come risultato il numero y.
Nell'insieme dei numeri reali valgono alcune limitazioni:

• se l'indice è un numero pari il radicando non deve esser negativo;
• se l'indice è un numero dispari il radicando può avere qualunque valore;
• se l'indice non è un numero intero il radicando deve esser positivo.

Tabella delle radici quadrate e cubiche dei primi numeri naturali (arrotondate alle prime tre cifre decimali):

L'operazione di E. a radice gode di proprietà particolari, che discendono dalle proprietà delle potenze; in particolare, per x e y > 0, e per n ≠ 0:

• ⁿ√ 0   =   0
• ⁿ√ 1   =   1
• ⁿ√ x ⁿ   =   x
• ⁿ√ x   =   ^{n · m}√ x ^m
• ⁿ√ x · ⁿ√ y   =   ⁿ√ x · y
• ⁿ√ x ∶ ⁿ√ y   =   ⁿ√ x ∶ y
• ( ⁿ√ x ) ^m   =   ⁿ√ x ^m   =   x ^{m / n}
• ⁿ√ ^m√ x   =   ^{n · m}√ x

ESTREMO (IN, GE, GA, AM) - In un insieme ordinato, elemento che ne delimita l'ordinamento.

• E. superiore - valore più grande di tutti gli elementi dell'insieme, ma più piccolo di quelli successivi: è il più piccolo dei maggioranti dell'insieme; se tale E. è compreso nell'insieme, si chiama MASSIMO;
• E. inferiore - valore più piccolo di tutti gli elementi dell'insieme, ma più grande di quelli precendenti: è il più grande dei minoranti dell'insieme; se tale E. è compreso nell'insieme, si chiama MINIMO;
• E. relativo o E. locale - valore E. di un sottoisime (in genere un intorno) rispetto all'insieme iniziale;
• E. assoluto - valore E. in tutto l'insieme considerato;
• E. di una funzione o valore estremante - valore E. per il codominio della funzione;

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