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ELEMENTO di un insieme (IN) - Concetto primitivo della teoria degli INSIEMI, non possiede quindi una definizione precisa. Un E. è ciò che appartiene ad un insieme; quindi la caratteristica principarle di un E. è il fatto che appartenga o meno ad un determinato insieme.
Complementariamente, un insieme è caratterizzato dagli E. che vi appartengono.
ELEVAMENTO A POTENZA (AR, AL) - Operazione binaria, definita nell'ambito dei numeri reali.
È introdotta partendo dai numeri naturali, come scorciatoia della MOLTIPLICAZIONE, nel caso i fattori siano tutti uguali tra loro; è definita nel seguente modo: un numero x (chiamato base della potenza) elevato ad un secondo numero y (chiamato esponente) ha come risultato un numero x y (chiamato pontenza) ottenuto dal prodotto di x per se stesso, tante volte quanto è il valore di y. Ad esempio si scrive:
- x 1 = x
- x 2 = x · x
- x 3 = x · x · x
- x n = x · x · x · ... · x · x (n volte)
Tale operazione si può estendere con naturalità ai numeri relativi, in quanto dalle proprietà dell'E. a potenza possiamo ricavare che, se x > 0 si ha:
- x 0 = 1
- x -1 = 1/x
- x -2 = 1/x2
se al contrario x < 0, allora:
- x n > 0 se n è pari;
- x n < 0 se n è dispari;
Possiamo estenderla successivamente ai razionali, sempre sfruttando le proprietà delle potenze, ponendo, per ogni x positivo:
essendo m, n numeri naturali.
Quindi ad esempio:
5 1,5 = 5 3/2 = (2)√53
ELLISSE (GA) - Figura geometrica piana, appartenente all'insieme delle CONICHE, definita come luogo dei punti del piano per i quali la somma delle distanze dai due fuochi è costante. Nel piano cartesiano i punti appartenenti all'E. centrata nell'origine verificano l'equazione canonica:
x²/a² + y²/b² = 1
Per approfondire, visita la pagina del sito dedicata all'ellisse.
ENDOMORFISMO (AL) - Particolare tipo di omomorfismo (ossia di applicazione lineare) in cui lo spazio iniziale e lo spazio finale coincidono.
ENUNCIATO (LO, AL, GE) - Parte principale di un TEOREMA o di una proposizione, costituita da una implicazione o da una coimplicazione; quindi un E. in genere è diviso in una ipotesi e una tesi.
EQUAZIONE (AL) - Problema algebrico in cui si confrontano due espressioni letterali (chiamati membri dell'e..), cercando di determinare per quali valori di una o più lettere (chiamate INCOGNITE), il primo membro ha un valore uguale del secondo; risolvere un'E. vuol dire determinare tali valori, e tali valori vengono chiamate SOLUZIONI dell'E. o radici
Relativamente al tipo di espressioni presenti, una d. si dice:
- E. intera se compaiono solo polinomi.
- E. fratta se compaiono frazioni aventi incognite al denominatore.
- E. razionale se tra le incognite sono legate solo dalle 4 operazioni.
- E. irrazionale se compaiono anche radici aventi incognite nel radicando.
- E. algebrica se compaiono solo le quattro operazioni, le potenze o le radici con incognite nel radicando.
- E. trascendente se non è algebrica.
- E. goniometrica se compaiono funzioni goniometriche aventi incognite nell'argomento.
- E. esponenziale se compaiono potenze aventi incognite nell'esponete.
- E. logaritmica se compare la funzione logaritmo avente incognite nell'argomento.
- E. differenziale se come incognite non compaiono solo lettere ma intere funzioni e loro derivate.
Relativamente al tipo di soluzioni ammissibili, un'E. si dice:
- E. determinata se è verificata solo per alcuni valori delle incognite.
- E. indeterminata se è verificata per infiniti valori delle incognite; in particolare, se tale E. è verificata per ogni valore possibile, si chiama identità.
- E. impossibile se non è alcun valore delle incognite.
Per risolvere una E. è possibile applicare due principi di equivalenza, che permettono di trasformare un'E. in una equivalente (avente cioè le medesime soluzioni). Tali principi sono:
- Primo principio di equivalenza per le E. ad ogni membro di una E. è possibile addizionare o sottrarre una stessa quantità algebrica, ottenendo un'E. equivalente a quella data.
- Secondo principio di equivalenza per le E. ogni membro di una E. può esser moltiplicato o diviso una stessa quantità algebrica, purchè sia diversa da zero, ottenendo un'E. equivalente a quella data.
Per approfondire la risoluzione di una E. visita la pagina del sito nella sezione di Algebra dedicata alle equazioni.
EQUIVALENZA (relazione) (IN, AL, GE, LO) - relazione binaria tra due insiemi, che gode delle PROPRIETÀ riflessiva, simmetrica e transitiva; alcuni esempi di relazione d'E. sono: la congruenza o la equiscomponibilità tra figure, l'equipollenza tra vettori, la partià dei numeri naturali. Inoltre l'E. in quanto tale si ritrova nelle seguenti situazioni:
- E. di proposizioni (LO, AL) - due proposizioni logiche sono equivalenti se affermano lo stesso concetto, con la medesima tabella di verità: la proposizione non esistono mucche gialle è equivalente alla proposizione tutte le mucche esistenti non sono gialle.
- E. di figure (GE) - due figure geometriche piane sono equivalenti se hanno la stessa area; due figure solide sono equivalenti se hanno lo stesso volume.
- E. di equazioni (AL) - due equazioni sono equivalenti se ammettono lo stesso insieme di soluzioni: l'equazione x + 2 = 6 è equivalente all'equazione 2x – 1 = 7, in quanto hanno entrambe come unica soluzione x = 4;
- classe di E. (AL) - in un insieme, una C. di E. è un sottoinsieme formato da elementi tutti equivalenti tra loro; tali C. formano una partizione dell'insieme iniziale, e l'insieme di tutte le C. di un insieme si chiama insieme quoziente.
ESAGONO (GE) - figura geometrica piana delimitata da una spezzata chiusa e non intrecciata di 6 lati: è un POLIGONO che possiede 6 lati, 6 angoli, 9 diagonali. Per approfondire vedi le pagine sui poligoni.
ESPONENTE (AR, AL) - numero reale, secondo termine dell'operazione di elevamento a potenza. In particolare:
- se l'E. è un numero naturale, indica quante volte il numero 1 deve esser moltiplicato per la base, per ottenere il risultato;
- se l'E. è zero, (e la base un qualunque altro numero) il risultato rimane 1;
- se l'E. è un numero intero negativo, indica quante volte il numero 1 deve esser diviso per la base, per ottenere il risultato;
- se l'E. è una frazione, il numeratore si comporta come un numero intero, mentre il denominatore indica l'indice della radice da cui estrarre il risultato.
ESPRESSIONE (AL) - Insieme di operazioni tra numeri e lettere, in cui possono comparire anche parentesi per cambiare il normale ordine di priorità delle operazioni.
ESTRAZIONE A RADICE (AR, AL) - Operazione inversa dell'elevamento a potenza: operazione tramite la quale si cerca di trovare un numero o espressione che, elevato/a all'indice della radice, dia come risultato il essione formata dall'operazione di E. a radice e dai suoi termini si chiama RADICANDO (ossia il numero o l'espressione dentro la radice). L'espressione formata dal simbolo di E. a radice (√), dall'indice e dal radicando si chiama RADICALE.
ESTREMO (IN, GE, GA, AM) - In un insieme ordinato, elemento che ne delimita l'ordinamento.
- E. superiore - il più piccolo dei maggioranti dell'insieme;
- E. inferiore - il più grande dei minoranti dell'insieme;
- E. relativo o E. locale - punto di valore E. in un intorno del punto considerato;
- E. assoluto - punto di valore E. in tutto l'insieme considerato;
- E. di una funzione o valore estremante - valore E. per il codominio della funzione;
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