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L'Algebra


L'algebra studia le proprietà generali dei numeri. Una parte importante dell'algebra è l'aritmetica (studiata sin dalle elementari), che spiega la classificazione dei numeri e fornisce le principali proprietà delle operazioni con i numeri. Tuttavia l'algebra è molto più dell'aritmetica, i quanto rende possibile lo studio di quantità numeriche anche se non si conosce il valore esatto di tali quantità.

I primi ad usare regole algebriche furono gli arabi; il termine stesso Algebra deriva dall'arabo, e vuol dire riunioni di più parti separate.

Infatti l'algebra serve ad unificare la matematica, a calcolare ogni tipo di valore, utilizzando segni e lettere universali. Prima di allora ogni problema era studiato separatamente, ed era difficile collegare le caratteristiche simili di due problemi: era difficile generalizzare una situazione.
Al contrario oggi sappiamo che ogni problema matematico può esser ricondotto ad un problema algebrico, in cui si cerca di calcolare un determinato valore, conoscendone alcune proprietà.


« È sicuramente meglio conoscere cose che non servono a niente,
piuttosto che non conoscere niente. »

Seneca


L'algebra, come ogni parte della matematica e della fisica, ha come basi alcuni concetti naturali, detti concetti primitivi e alcune regole di partenza, dette assiomi; ad esempio le basi dell'aritmetica sono state formalizzate all'inizio del XX secolo dal matematico italiano Giuseppe Peano, e sono per l'appunto chiamate assiomi di Peano. Gli assiomi di Peano, assieme agli assiomi di teoria degli insiemi sono le basi dell'algebra, mentre ad esempio i postulati di Euclide costituiscono il punto di partenza per la geometria.

Normalmente si inizia a studiare l'algebra nel III anno della scuola media inferiore, e si continua a studiarla in tutti i tipi di scuola superiore. L'algebra studiata in questi anni consiste nel calcolo letterale, ossia lo studio di simboli o lettere che servono ad indicare quantità numeriche di cui non si conosce (o non interessa) il valore.
Anche in alcune facoltà universitarie si continua lo studio dell'algebra, e vengono esaminate strutture algebriche più avanzate.

In algebra le lettere hanno quindi un rulo molto importante; possiamo classificarle a seconda del loro compito o del loro scopo all'interno di un problema; vengono distinte in:

  • costanti - lettere che indicano una quantità precisa, che si conosce, ma che in genere è difficile (o impossibile) scrivere completamente; ad esempio il famoso pi-greco si indica con π, e rappresenta il rapporto tra circonferenza e diametro, ma tale numero non si può scrivere avendo infinite cifre decimali (si approssima con 3,14...);
  • variabili - lettere che indicano un generico possibile valore, all'interno di un insieme prestabilito; a volte di una variabile non interessa tanto il suo valore quanto le sue relazioni con altre variabili;
  • incognite - lettere che indicano una quantità precisa di cui si ignora il valore, e si vuole calcolare partendo da alcune sue proprietà o relazioni note; ad esempio se so che x − 2 = 0, allora posso calcolarmi x e scoprire che dovrà essere x = 2;
  • parametri o variabili secondarie - lettere che indicano un generico valore, all'interno di un insieme prestabilito, che può influenzare indirettamente il risultato o una relazione; un parametro non ha quindi un valore preciso, ma siamo noi ad assegnargli dei valori, per studiare come cambia il problema per ogni valore.

« L'aritmetica ha un grande potere nell'elevare la mente
costringendola a ragionare intorno a numeri astratti. »

Platone


Sotto-sezioni di Algebra


Gli insiemi - Le strutture - I numeri - Costanti famose - Calcolo letterale - Scomposizioni - Equazioni - Disquazioni