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Introduzione - I grado - II grado - Grado superiore

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Definizioni


Una disequazione è una generica relazione tra due espressioni algebriche simile ad una equazione; ma mentre in un'equazione si cerca per quali valori dell'incognita il primo membro sia uguale al secondo, in una disequazione possono verificarsi relazioni di diverso tipo tra i due membri.

Ricordiamo che, dati due numeri reali qualunque A e B, può valere una sola tra le seguenti relazioni:

  1. A > B   si legge: A maggiore di B
  2. A = B   si legge: A uguale a B
  3. A < B   si legge: A minore di B

Ad esempio se A=4 e B=5, vale solo la terza possibilità; se invece A=10 e B=6 vale la prima; se infine A=3 e B=3, vale la seconda.
In altre parole, non esiste una quarta possibilità (principio del quartum non datur...) e non esiste neanche la possibilità che valgano contemporaneamente due di queste situazioni: di conseguenza, tornando alle disequazioni, una soluzione non può verificare contemporaneamente le tre relazioni.

Parallelamente, date due espressioni algebriche nell'incognita x, che indicheremo con A(x) e B(x), possiamo schematizzare l'insieme di queste relazioni nella scrittura:

  1. A(x) > B(x)
  2. A(x) = B(x)
  3. A(x) < B(x)

L'equazione A(x) = B(x) è chiamata equazione associata, mentre le altre due relazioni sono le disequazioni a cui è associata l'equazione: molto spesso le soluzioni di una disequazione dipendono dalle soluzioni dall'equazione associata a tale disequazione.

Da queste tre relazioni possiamo considerare anche combinazioni tra due di esse tramite la congiunzione v (vel = oppure), ottenendo ulteriori relazioni, la cui soluzione è data dall'unione delle soluzioni delle relazioni combinate:

A(x) > B(x) V A(x) = B(x)   ⇒   A(x) ≥ B(x)

  si legge: A(x) maggiore o uguale a B(x)

A(x) > B(x) V A(x) < B(x)   ⇒   A(x) ≠ B(x)

  si legge: A(x) diverso da B(x)

A(x) < B(x) V A(x) = B(x)   ⇒   A(x) ≤ B(x)

  si legge: A(x) minore o uguale a B(x)

Per le disequazioni non si parla tanto di soluzioni singole, ma di intervalli o insieme delle soluzioni.

Esempio 1.

Consiederiamo le espressioni:   A(x) = x + 3,   B(x) = 5 − x.
L'equazione associata è:

x + 3 = 5 − x

La cui risoluzione porta alla soluzione 1.
Tutti i restanti numeri, sono soluzioni delle due disequazioni principali, infatti:

x + 3 > 5 − x

ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri maggiori di 1, mentre

x + 3 < 5 − x

ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri minori di 1. Non ci sono altre soluzioni!


Esempio 2.

Vediamo un caso un po' più avanzato. Consiederiamo le espressioni:   A(x) = x²,   B(x) = 9
L'equazione associata è:

x² = 9

La cui risoluzione porta alle soluzioni +3 e −3.
Quali sono le soluzioni delle due disequazioni principali? Ragionando un po' sulle varie possibilità si può osservare che:

x² > 9

ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri maggiori di +3 oppure anche quelli minori di −3, mentre

x² < 9

ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri minori di +3 ma contemporaneamente maggiori di −3.
Le soluzioni di una disequazione combinata, si ottengono unendo le soluzioni di queste relazioni, ad esempio:

x² ≤ 9

ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri compresi tra −3 e +3, compresi i numeri ±3 stessi.

Casi particolari


Una disequazione è impossibile se l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto.
Al contrario è indeterminata se l'insieme delle soluzioni è tutto l'insieme R.

Esempio 3.

Vediamo un caso particolare. Consiederiamo le espressioni:   A(x) = x²,   B(x) = −4
L'equazione associata è:

x² = −4

Dopo un'attenta osservazione possiamo dedurre che tale equazione è impossibile, non ammettendo soluzioni reali.
Cosa possiamo dire delle soluzioni delle varie disequazioni associate? Ragioniamo anche qui attentamente e osservare che:

x² > −4

è una disequazione indeterminata: ogni numero reale verifica questa relazione.

x² < −4

è una disequazione impossibile, al pari dell'equazione associata.
Per quanto riguarda le altre disequazioni:

x² ≥ −4

ha come soluzioni l'insieme R unito all'insieme vuoto, di conseguenza anch'essa è indeterminata.

x² ≤ −4

ha come soluzioni l'insieme vuoto unito all'insieme vuoto, di conseguenza risulta impossibile.

In generale vale la regola che i segni di =, >, < si "spartiscono" le soluzioni nell'insieme dei numeri reali, mentre i segni di ≥, ≤ mettono insieme le soluzioni delle loro combinazioni.


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