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Assiomi - Teoria degli Insiemi - Formulario

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Assiomi di Insiemistica


Attenzione: può accadere che alcuni simboli non siano visualizzati correttamente, leggi le info alla sezione compatibilità.

Un concetto primitivo è un concetto che non può essere definito, ma si usa per definire altri concetti; un assioma è una affermazione che non può essere dimostrata, ma che è assunta per vera, ed è il punto di partenza per dimostrare (o negare) altre affermazioni.

L'algebra parte dallo studio degli insiemi e delle loro proprietà. I 3 concetti fondamentali da cui si inizia lo studio sono:

  • elemento (indicato con una lettera minuscola)
  • insieme (indicato con una lettera maiuscola)
  • appartenenza (indicata con i simbili ∈ o ∉)

Questi 3 concetti sono legati tra loro dagli assiomi della teoria ingenua degli insiemi; i principali sono:

  • Un insieme è costituito da elementi.
  • Gli elementi costituenti l'insieme appartengono all'insieme.
  • Un elemento non può comparire più di una volta in un insieme, ma può appartere a più insiemi.
  • Esiste un insieme non contenente alcun elemento, l'insieme vuoto, indicato con il simbolo ∅.
  • Un insieme può essere un elemento appartenente ad un altro insieme.
  • Un insieme non può essere un elemento appartenente a se stesso.

Se un elemento x appartiene ad un insieme A si scrive:

x ∈ A

al contrario, se non appartiene si scrive:

x ∉ A.

Un insieme è sempre descritto con una coppia di parentesi graffe, al cui interno possiamo specificare i suoi elementi; tale specificazione può esser fatta in due modi:

  • per elencazione: elencando tutti gli elementi presenti; se sono tanti (o infiniti), ci si può aiutare con i puntini di sospensione per far capire che gli elementi sono molti di più;
  • per caratteristica: spiegando qual è la proprietà caratteristica o il criterio che accomuna tutti gli elementi dell'insieme, e che hanno solo loro.

Esempio 1. Consideriamo l'insieme A, costituito dagli elementi a, b, c,.

Se lo vogliamo descrivere per elencazione, basta scrivere:

A = { a, b, c }

Se lo vogliamo descrivere per caratteristica, possiamo scrivere:

A = { x : x è una delle prime tre lettere dell'alfabeto }

il simbolo di due punti (:) in questo caso si legge "tale che" e serve a specificare le proprietà caratteristiche che x verifica.


Esempio 2. Consideriamo l'insieme B, che contiene i numeri naturali pari.

Per elencazione si può scrivere:

B = { 2, 4, 6, 8, 10, … }

In questo caso è stato necessario usare i puntini di sospensione, in quanto i numeri pari sono infiniti.

Se lo vogliamo descrivere per caratteristica, si può scrivere:

B = { n = 2k, ∀k ∈ ℕ }

il simbolo di A capovolta (∀) si legge "per ogni" e serve a specificare la proprietà valeper tutti i numeri k naturali; ossia ogni numero pari si può scrivere come il doppio di un altro numero naturale.

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