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Assiomi - Teoria degli Insiemi - Formulario

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Formule


Ecco le più comuni relazioni e proprietà tra le operazioni di intersezione, unione e complementare:

RELAZIONI DI BASE

elementi neutri:

A ∩ U = A     A ∪ ∅ = A

leggi di idempotenza:

A ∩ A = A     A ∪ A = A

leggi di annullamento:

A ∩ ∅ = ∅     A ∪ U = U

partizione dei complementari:

A ∩ Ac = ∅
A ∪ Ac = U

legge di involuzione:

(Ac) c = A

leggi di inclusione:

A ∩ B ⊆ A     A ∩ B ⊆ B
A ∪ B ⊇ A     A ∪ B ⊇ B

Questo invece è un elenco delle più comuni relazioni e proprietà tra le varie operazioni tra insiemi.

PROPRIETÀ

commutativa:

A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
A Δ B = B Δ A

distributiva:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ C) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ C) ∩ (A ∪ C)

leggi di De-Morgan:

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

proprietà della differenza:

A∖B = A ∩ Bc
A∖B = Bc∖Ac
(A∖B) ∩ A = A∖B
(A∖B) ∪ A = A
(A∖B) ∩ B = ∅
(A∖B) ∪ B = A ∪ B

proprietà della differenza simmetrica:

A Δ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B)
A Δ B = (A∖B) ∪ (B∖A)
(A Δ B) ∩ A = A∖B
(A Δ B) ∩ B = B∖A

Per quanto riguarda le cardinalità degli insiemi, valgono le formule, che derivano delle proprietà sopraelencate:

PROPRIETÀ DELLA CARDINALITÀ

card (A ∪ B) = card (A) + card (B) − card (A ∩ B)

card (A∖B) = card (A) − card (A ∩ B)

card (B∖A) = card (B) − card (A ∩ B)

card (A Δ B) = card (A ∪ B) − card (A ∩ B)

card (A Δ B) = card (A∖B) + card (B∖A)

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