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Assiomi - Teoria degli Insiemi - Formulario

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Formule

Ecco le più comuni relazioni e proprietà tra le operazioni di intersezione, unione e complementare:

idempotenza:
A ∩ A = A
A ∪ A = A

identità:
A ∩ U = A
A ∪ ∅ = A

leggi di annullamento:
A ∩ ∅ = ∅
A ∪ U = U

relazioni di base:
A ∩ B ⊆ A
A ∩ B ⊆ B
A ∪ B ⊇ A
A ∪ B ⊇ B

proprietà commutativa:
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A

proprietà distributiva:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ C) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ C) ∩ (A ∪ C)

proprietà del complementare:
A ∩ Ac = ∅
A ∪ Ac = U
(Ac) c = A

leggi di De-Morgan:
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

Questo invece è un elenco delle più comuni relazioni e proprietà tra le altre operazioni tra insiemi:

proprietà della differenza:
A∖B = A ∩ Bc
A∖B = Bc∖Ac
(A∖B) ∩ A = A∖B
(A∖B) ∪ A = A
(A∖B) ∩ B = ∅
(A∖B) ∪ B = A ∪ B

proprietà della differenza simmetrica:
A Δ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B)
A Δ B = (A∖B) ∪ (B∖A)
(A Δ B) ∩ A = A∖B
(A Δ B) ∩ B = B∖A

proprietà commutativa:
A Δ B = B Δ A

Per quanto riguarda le cardinalità degli insiemi, valgono le formule:

card (A ∪ B) = card (A) + card (B) − card (A ∩ B)

card (A∖B) = card (A) − card (A ∩ B)

card (B∖A) = card (B) − card (A ∩ B)

card (A Δ B) = card (A ∪ B) − card (A ∩ B)

card (A Δ B) = card (A∖B) + card (B∖A)


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