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Introduzione - Operazioni tra lettere - Prodotti notevoli

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L'uso delle lettere


È utile osservare che nella vita quotidiana non utilizziamo mai i numeri da soli, ma di fatto sono sempre riferiti a qualcos'altro: 10 euro, 2 ore, una partita, una dozzine di arance, 11 giocatori, e così via.
Quindi non è un'idea troppo azzardata pensare che anche in matematica possiamo mettere in relazione i numeri con qualcosa di diverso: se ho una sedia in un banco e vi aggiungo un'altra sedia, posso tranquillamente dire che sotto il banco ci sono due sedie; se aggiungo un'altra sedia arrivo a tre sedie, in pieno accordo con l'aritmetica, nonostante il fatto che la "sedia" non sia un concetto matematico.
Ma se insieme a queste tre sedie considero anche il banco, non posso fare la somma, in quanto dovrei dire che ci sono 4... sedie? banchi? Per fare la somma devo trovare un nome che accomuna sedie e banchi: mobili, pezzi di legno e ferro, ecc. Quindi:

possiamo sommare solo cose che possono esser chiamate con lo stesso nome

e finché non riusciamo a trovare un nome in comune non siamo in grado di sommarle.
Lo stesso vale per la sottrazione: se dalle 3 sedie ne tolgo 2, ritorno con la sedia iniziale.

1 sedia + 1 sedia = 2 sedie
2 sedie + 1 sedia = 3 sedie
3 sedie − 2 sedie = 1 sedia

Mentre:
3 sedie + 1 banco = 3 sedie + 1 banco (se non cambiano nomi)

Ancora più facile se consideriamo qualcosa che siamo abituati a contare, come ad esempio la frutta quando si fa la spesa come le arance e le banane, di seguito abbreviate con le lettere « a » e « b » :

1a + 5a = 6a
10a − 8a + 3a = 5a
13b − 13b = 0b
mentre non possiamo sommare arance e banane insieme:
20a + 30b = 20a + 30b (non c'è un risultato)

Per semplicità possiamo scrivere semplicemente “a” al posto di “1a”, “0” al posto di “0a” e analogamente “b” al posto di “1b”, “0” al posto di “0b”: infatti che noi abbiamo 0 arance o 0 banane non cambia nulla, comunque non abbiamo niente da far vedere.

Queste regole possono essere generalizzate in matematica:

Posso sommare (e sottrarre) due quantità aventi le stesse lettere, ma non quantità aventi lettere diverse.

Ma cosa rappresentano queste lettere in matematica? Numeri! Una lettera rappresenta un numero di cui non ci interessa il valore.
Quindi perchè si scrive 3a? Non sono tutti e due numeri? sì, infatti 3a è un numero dato dal prodotto di 3 per a (il segno × è sottinteso).
Ma se non conosco a? vuol dire semplicemente che non conosco il risultato! Però so che se a è un numero naturale, 3a è divisibile per 3; così come so che 2b è un numero pari, se b è naturale. Inoltre molte proprietà valgono a prescindere dal numero che considero: a + a = 2a, per ogni valore che a può assumere!

Monomi e polinomi


Riprendendo gli esempi precedenti, chiamiamo monomio una quantità di un solo tipo e polinomio un generico insieme di quantità uguali o diverse, rappresentate da una somma di numeri e/o da lettere.
Più formalmente:

Un monomio è una moltiplicazione tra numeri e lettere: il numero è detto coefficiente, le lettere parte letterale.

Ad esempio in 8a, 8 è il coefficiente, a è la parte letterale.
Due monomi che hanno stessa parte letterale sono detti simili.

Una somma algebrica di uno o più monomi è detta polinomio.

Ad esempio sono monomi:
a;   3b;   10;   5ax;   -2y²;   0.
e in generale sono polinomi:
a + b;   3a − b;   2a;   10 − x + y;   5b − 2;   b.
Dove al posto di a, b, x e y possiamo metterci qualunque lettera.
I polinomi si dividono a seconda di quanti monomi possiedono: un polinomio formato da una sola quantità è un semplice monomio, se è formato da due binomio, da tre trinomio, e così via.

Come possiamo rappresentarci un polinomio? Come un insieme formato da diversi gruppi, ogni gruppo contiene una determinata quantità di oggetti uguali.

Esempio 1.
Considieriamo il polinomio P, che rappresenta le ore di scuola di una classe, divise per materia: su 25 ore totali possiamo avere 5 di italiano (i), 5 di matematica (m), 3 di inglese (e), 3 di latino (l), 2 di storia (s), 2 di geografia (g), 2 di disegno (d), 2 di ed. fisica (f), 1 di religione (r).
Quindi si può scrivere:
P = 5i + 5m + 3e + 3l + 2s + 2g + 2d + 2f + r.

Graficamente:

polinomio

Dove ogni colonna rappresenta un monomio, ossia le ore settimanali di una singola materia.

Ogni lettera che compare in un monomio ha un proprio esponente: tale esponente è chiamato grado del monomio rispetto a tale lettera; se una lettera non compare, il monomio ha grado 0 rispetto a tale lettera.
Ad esempio:
2a²b³c   ha grado 2 rispetto alla a, grado 3 rispetto alla b e grado 1 rispetto alla c, grado 0 rispetto a ogni altra lettera;
10x²y²   ha grado 2 rispetto alla x e alla y, grado 0 rispetto a ogni altra lettera;
23   non ha alcuna lettera, per cui possiamo dire che ha grado 0 rispetto ad ogni possibile lettera.

Il grado di un monomio in generale è la somma dei gradi di tutte le lettere che compaiono; se il monomio non possiede alcuna lettera, ha grado 0.

Riprendendo gli esempi precedenti:
2a²b³c   ha grado 6 (2 + 3 + 1 = 6);
10x²y²   ha grado 4 (2 + 2 = 4);
23   ha grado 0.

Il grado di un polinomio è il grado più alto tra i gradi dei monomi che compaiono.


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