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Introduzione - Operazioni tra lettere - Prodotti notevoli

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Prodotti notevoli


Si parla di prodotti notevoli quando ci si riferisce a prodotti molto particolari in cui il risultato è raggiungibile con alcune scorciatoie, evitando quindi di fare lunghi e noiosi calcoli.
Ecco i casi più ricorrenti (le lettere maiuscole indicano una qualunque espressione algebrica, in genere sono semplici monomi):

Somma per differenza

(A − B) · (A + B) = (A² − B²)

Quadrato di un binomio − termini concordi

(A + B)² = (A² + 2AB + B²)

Quadrato di un binomio − termini discordi

(A − B)² = (A² − 2AB + B²)

Cubo di un binomio − termini concordi

(A + B)³ = (A³ + 3A²B + 3AB² + B³)

Cubo di un binomio − termini discordi

(A − B)³ = (A³ − 3A²B + 3AB² − B³)

Quadrato di un trinomio

(A + B + C)² = (A² + B² + C² + 2AB + 2AC + 2BC)

Potenza generica di un binomio

(A + B)Nvedi sotto

Vediamo ora in dettaglio i primi di questi casi.

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Somma per differenza di monomi


Il primo prodotto notevole, quello che semplifica moltissimo i calcoli è la somma per la differenza di monomi, o in generale di espressioni algebriche: si applica ogni qual volta dobbiamo svolgere la moltiplicazione tra due polinomi quasi identici, dove però il secondo differisce dal primo per uno o più segni; il caso più comune è quello di due binomi in cui nel primo c'è una somma tra due monomi e nel secondo la loro differenza, formalmente: (a + b) • (a − b).

Somma per differenza di monomi
Il prodotto tra la somma e la differenza tra di due numeri equivale alla differenza tra i quadrati dei due numeri.

Che corrisponde all'uguaglianza:

(a + b) • (a − b) = a² − b²

In questo file (pdf, 12kB) è mostrato uno schema grafico che aiuta a capire questa regola.

Un esempio particolare:
se b = 1, questa formula ci dice:
(a + 1) • (a − 1) = a² − 1
ossia: il prodotto tra due numeri che differiscono di 2 è uguale al quadrato del numero intermedio meno 1, ad esempio:
99 × 101 = 100² − 1 = 10'000 − 1 = 9'999
A volte può esser comodo!

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Quadrato di un binomio


Gli altri due prodotti notevoli rientrano nella regola del quadrato di un binomio, ossia il prodotto tra due binomi uguali, formalmente: (a + b)², dove le due lettere possono avere lo stesso segno (primo caso) o segno opposto (secondo caso).

Quadrato di un binomio
Il prodotto di un binomio per se stesso corrisponde ad un trinomio formato dai seguenti elementi:
- il quadrato del primo termine
- il quadrato del secondo termine
- il doppio prodotto fra i due termini (con segno opportuno)

Ossia possiamo scrivere, nel caso di segno concorde:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

Graficamente possiamo osservare la seguente situazione descritta in forma schematica in questo file (pdf, 12kB).

In altri termini: il quadrato di una somma tra due quantità non è solo la somma dei singoli quadrati ma, come si osserva dalle figure, saltano fuori due zone viola, ognuna delle quali è il prodotto dei due elementi.

Ma è comoda questa formula? a volte sì, come ad esempio:
1003² = (1000 + 3)² = (1'000)² + (3)² + (2)(1'000)(3) = 1'000'000 + 9 + 6'000 = 1'006'009
25² = (20 + 5)² = (20)² + (5)² + (2)(20)(5) = 400 + 25 + 200 = 625
(in generale è utile quando dobbiamo studiare numeri vicini a numeri facili da calcolare)

Questa regola vale anche nel caso in cui si voglia calcolare il quadrato di una differenza, ossia nel caso di segno discorde:

(a − b)² = a² + b² − 2ab

Graficamente la situazione è un po' diversa dalla precedente, e possiamo capirlo osservando questo file (pdf, 12kB).

Da cui possiamo affermare che: il quadrato della differenza tra due numeri non è la differenza tra i due quadrati, bensì la somma tra i due quadrati, diminuita del doppio del loro prodotto (le solite zone viola...)

Anche questa regola vale per ogni valore che possiamo dare ad a e b, ad esempio:
19² = (20 − 1)² = (20)² + (1)² − (2)(20)(1) = 400 + 1 − 40 = 361

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Altri prodotti notevoli


La regola del quadrato di un binomio può esser generalizzata nel caso del quadrato di un generico polinomio, considerando il polinomio come somma di due sotto-polinomi.

Ad esempio nel caso di un trinomio la regola diventa:
(a + b + c)²   =   [ (a + b) + (c) ]²   =   (a + b)² + (c)² + (2)(a + b)(c)   =   a² + b² + 2ab + c² + 2ac + 2bc

La potenza generica di un binomio, (A + B)n, con n numero naturale, si calcola nel seguente modo:

  • si costrisce un polinomio formato da n+1 monomi, ordinati secondo le potenze decrescenti di A;
  • il polinomio è omogeneo: mentre le potenze di A decrescono, quelle di B sono crescenti, in modo tale che il primo è An, il secondo An−1B, il terzo An−2B2, fino all'ultimo che è Bn;
  • i coefficienti per cui moltiplicare questi n+1 termini sono dati dalla corrispondente riga del triangolo di Tartaglia (la n+1 esima).

Quindi ad esempio, la terza potenza (il cubo) ha 4 termini, e la struttura è quella descritta nella tabella ad inizio pagina:

(A + B)3 = (A3 + 3A2B + 3AB2 + B3)

Altro esempio, la quinta potenza del binomio ha 6 termini i cui coefficienti sono dati dalla sesta riga del triangolo di Tartaglia:

(A + B)5 = (A5 + 5A4B + 10A3B2 + 10A2B3 + 5AB4 + B5)

Per approfondire vedi il teorema binomiale di Newton.

Per concludere osserviamo che usare i prodotti notevoli non è obbligatorio per risolvere le espressioni algebriche, ma in alcune situazioni è molto conveniente; non saper i prodotti notevoli è come non saper usare un ascensore: si è costretti a fare ogni volta le scale!

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