Un polinomio è un generico insieme di quantità anche diverse tra loro, rappresentate da una somma di numeri e/o da lettere.
Più formalmente:
Una somma algebrica di uno o più monomi è detta polinomio.
Ad esempio sono polinomi:
ax² + 5b + 1; 3a − b; 2a³bc²; 10 − x + y; 5b − 2
Ogni monomio presente nel polinomio si chiama termine del polinomio; i polinomi si dividono a seconda di quanti termini possiedono: un polinomio formato da un solo termine è un semplice monomio, se è formato da due binomio, da tre trinomio, e da quattro quadrinomio; se possiede più termini si chiama polinomio in generale.
Due polinomi P₁ e P₂ sono opposti se P₂ è formato da tutti e soli i termini opposti a quelli di P₁; ad esempio sono coppie di polinomi opposti:
(3a − 5b² + 10c³) e (5b² − 3a − 10c³)
Ovviamente l'ordine con cui compaioni i termini nei due polinomi è irrilevante, quello che conta è ad ogni termine del primo polinomio corrisponda il termine opposto nel secondo, come abbiamo osservato in questo esempio.
Infine il polinomio nullo è il polinomio costituito solamente dal monomio nullo, ossia dallo zero.
Come possiamo rappresentarci un polinomio? Come un insieme formato da diversi gruppi, ogni
gruppo contiene una determinata quantità di oggetti uguali.
Esempio 8.Vediamo una situazione concreta, rappresentabile con un polinomio.
Considieriamo il polinomio P, che rappresenta le ore di scuola di una classe, divise per materia: su 25 ore totali possiamo avere 5 di italiano (i), 5 di matematica (m), 3 di inglese (e), 3 di latino (l), 2 di storia (s), 2 di geografia (g), 2 di disegno (d), 2 di ed. fisica (f), 1 di religione (r).
Quindi per indicare le ore totali della classe, si può scrivere:
P = 5i + 5m + 3e + 3l + 2s + 2g + 2d + 2f + r.
Graficamente:
Figura 1
Dove ogni colonna rappresenta un monomio, ossia le ore settimanali di una singola materia.
Un polinomio è in forma normale se è composto soltanto da termini che non sono simili tra loro. Se un polinomio non è in forma normale, è possibile ridurlo svolgendo le operazioni tra i termini simili.
Ogni termine del polinomio, essendo un monomio, possiede un proprio grado; possiamo definire il grado di un polinomio:
Il grado di un polinomio è il grado più alto tra i gradi dei monomi che compongono il polinomio.
Riprendendo quello che abbiamo detto per i monomi, possiamo estenderlo anche ai polinomi: ogni numero diverso da zero è considerato un polinomio di grado zero, mentre il numero zero è il polinomio nullo e non ha grado.
Inoltre sempre per quanto riguarda il grado, un polinomio in forma normale può essere:
omogeneo se tutti i suoi termini possiedono lo stesso grado;
completo rispetto ad una lettera se possiede tutte le potenze di tale letteram dalla più grande fino al termine noto;
ordinato rispetto ad una lettera se tutti i termini compaiono con le potenze in ordine crescente o decrescente rispetto a tale lettera.
Nel caso siano presenti più lettere, un polinomio può esser completo rispetto ad una lettera ma non rispetto ad un'altra; analogamente può esser ordinato rispetto ad una lettera ma non rispetto ad un'altra.
Esempio 9.Ecco alcuni esempi di polinomi.
Il polinomio (x² + 3xy − 5y²) è un trinomio di secondo grado; è omogeneo, completo e ordinato sia rispetto alla x sia rispetto alla y.
Il polinomio (x³ + 3x − 5y) è un trinomio di terzo grado; non è omogeneo, ma è ordinato sia rispetto alla x sia rispetto alla y; è completo solo rispetto alla y, non rispetto alla x (infatti manca x²).
Il polinomio (x² + 5y²) è un binomio di secondo grado; è omogeneo, ordinato sia rispetto alla x sia rispetto alla y, ma non è completo.
Il polinomio (x² − 5y² + 3x + 8) è un quadrinomio di secondo grado; non è omogeneo, né ordinato; è completo rispetto alla x ma non rispetto alla y.
Cosa succede se vogliamo addizionare o sottrarre tra loro due polinomi? I polinomi stessi sono composti da addizioni e sottrazioni tra diversi termini, per cui queste due operazioni non presentano particolari difficoltà.
La somma tra due polinomi si può ottenere molto semplicemente unendo i due polinomi iniziali, scrivendoli uno di seguito all'altro, e riducendo eventuali termini simili.
La somma tra due polinomi è un nuovo polinomio formato da tutti i termini del primo e del secondo polinomio.
Se compaiono termini simili, si riducono per mettere il nuovo polinomio in foma normale.
In particolare: se due polinomi sono opposti, la loro somma è il polinomio nullo, in quanto possiamo ridurre tutti i termini opposti
Anche calcolare la differenza tra due polinomi è molto semplice.
La differenza tra due polinomi si ottiene sommando al primo polinomio l'opposto del secondo polinomio.
Quindi per effettuare la sottrazione tra due polinomi, per prima cosa occorre calcolare l'opposto del secondo polinomio, cambiando di segno tutti i suoi termini, poi effettuare la somma algebrica tra quest'ultimo polinomio e il primo.
Esempio 10. Vediamo alcuni esempi di addizione tra polinomi.
In questi esempi ci siamo aiutati per l'individuazione di termini simili, con sottolineature di diverso colore.
Osservazioni. Il grado del polinomio ottenuto con addizioni o sottrazioni di polinomi è uguale o minore del grado più alto tra quelli iniziali.
Se i polinomi iniziali sono omogenei, anche la somma e la differenza sono polinomi omogenei.
La moltiplicazione tra un polinomio e un numero è molto semplice; anche quella tra un polinomio e un monomio. Consideriamo il seguente esempio:
Esempio 11. Supponiamo che in un negozio ci siano dei pacchi-regalo natalizi (PR), ognuno avente un panettone (p), tre torroni (t) e una ventina di cioccolatini (c); possiamo scrivere ogni pacco come:
PR = p + 3t + 20c
Se compro sette pacchi, cosa ottengo? Ovviamente basta moltiplicare per 7 tutti i singoli gruppi di dolci, e ottengo 7 panettoni, 21 torroni, 140 cioccolatini; in formule, gli acquisti sono:
A = PR × 7 = (p + 3t + 20c) × 7 = 7p + 21t + 140c
Questa regola è la proprietà distributiva, e ci permette di moltiplicare (o dividere) un insieme di diverse quantità (quindi un polinomio) per un numero.
Abbiamo visto come sia abbastanza semplice moltiplicare un polinomio per un numero (esempio del pacco natalizio): ogni quantità del polinomio, quindi ogni monomio, viene moltiplicato per quel numero.
Figura 2
Riprendiamo l'esempio della distribuzione delle ore in una classe, descritto prima (esempio 1). Quante sono in un mese (o meglio, 4 settimane) queste ore? Basta moltiplicare per 4 tutti i monomi, come si vede in figura 2.
Come conseguenza si ha che ogni colonna (ogni monomio) viene moltiplicata 4 volte e perciò:
In quattro settimane dunque quella classe ha 20 ore di italiano, 20 di matematica, 12 di inglese e di latino, 8 di storia, geografia e disegno, 4 di religione.
Analogamente si può fare la moltiplicazione tra un polinomio e un monomio: è sufficiente moltiplicare ogni quantità del polinomio per quel monomio.
Ad esempio:
(a + b) • c = ac + bc
dove il simbolo • indica l'operazione di moltiplicazione; analogamente ac viene da a•c, e bc viene da b•c (infatti in algebra l'operazione di moltiplicazione può anche non esser scritta, ma rimane sottointesa).
Possiamo verificare questo risultato mettendo al posto delle tre lettere qualunque numero: infatti se osserviamo bene questa uguaglianza altri non è che la vecchia proprietà distributiva!
Passiamo quindi a studiare il prodotto in generale tra più polinomi. La procedura è leggermente più complessa, ma non è difficile da capire.
Riprendendo l'ultimo esempio fatto, basta sostituire al monomio c un qualunque polinomio. Ma che cosa si ottiene? Beh, bisogna ripetere quello fatto per c con tutte le quantità del nuovo polinomio, ad esempio, supponiamo che al posto di c ci sia il polinomio (x + y + z):
(a + b) • (x + y + z) =
= (a + b) • x + (a + b) • y + (a + b) • z =
= ax + bx + ay + by + az + bz
Figura 3
Bisogna quindi combinare tutti i monomi del primo polinomio con tutti i monomi del secondo per mezzo di moltiplicazioni, come mostrato in figura 3.
I termini del risultato, i diversi monomi, sono rappresentati nello schema a destra dai blocchi di diverso colore presenti nel rettangolo: il blocco rosso chiaro è ax, quello blu chiaro è bx, e così via; si può osservare come questa regola non dipenda dal valore che possono assumere le lettere: al posto di a e b possiamo mettere un qualunque numero, e la griglia si allungherà o restringerà di conseguenza.
Purtroppo si capisce anche che l'operazione di moltiplicazione tra polinomi complica molto la scrittura, poiché i termini del risultato possono essere davvero molti: supponiamo di moltiplicare tra loro due quadrinomi (polinomi con 4 monomi), otteniamo un risultato di 16 monomi!
Fortunatamente spesso molti dei monomi ottenuti sono simili tra loro, quindi si possono ridurre tra loro!
Esempio 12.Risolviamo utilizzando le regole viste l'espressione:
Anche in quest'ultimo esempio abbiamo usato il simbolo · l'operazione di moltiplicazione, ma nei passaggi successivi non l'abbiamo ripetuto, rimanendo sottointeso.
In alcuni casi particolari è possibile prevedere il risultato ottenuto dopo tutte le possibili riduzioni e semplificazioni: i tali casi si parla di prodotti notevoli.
