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Introduzione - Operazioni tra lettere - Prodotti notevoli

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Moltiplicazione e divisione tra monomi


I monomi sono un prodotto tra numeri e lettere, sono quindi il risultato di una o più moltiplicazioni; i polinomi sono una somma algebrica di monomi, sono quindi il risultato di addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni tra numeri e lettere.
Cosa accade in generale? I monomi si possono moltiplicare o dividere tra loro? Beh, qui si complica un po' la questione: riprendendo gli esempi iniziali, nella vita quotidiana la moltiplicazione e la divisione avvengono quasi sempre tra qualcosa e un numero semplice: se devo dare 5 euro a ognuno dei miei quattro amici non faccio 5 euro × 4 amici, ma solo 5 euro × 4, e ottengo come risultato 20 euro. In formule:
5 € × 4 = 20 €

Se poi questi 20 € devono esser distribuiti a 10 persone, devo fare:
20 € : 10 = 2 €

Posso moltiplicare due quantità tra loro? e due quantità diverse? Nella vita quotidiana in genere non è possibile, a meno che non ci ricolleghiamo a materie scientifiche come la geometria o la fisica.

In fisica ad esempio usiamo sempre i monomi, quando utilizziamo le misure: 3cm, 1 litro, 2kg, 20 secondi, 50 MHz sono esempi di monomi, in quanto sono determinate quantità: nei problemi scolastici non ci interessa tanto quant'è lungo esattamente un centimetro, ma che è qualcosa uguale per tutti.

Esempio 2.
Possiamo chiederci quindi: ha senso scrivere 3N × 2m, e cosa vuol dire? Ricordiamo che 3N è un monomio che rappresenta l'intensità di una forza, mentre 2m è un monomio che rappresenta una lunghezza; matematicamente vuol dire 3 × N × 2 × m, ossia 6 × N × m; come era facile supporre i coefficienti si possono moltiplicare, mentre il resto no, ma comunque è legato dalla moltiplicazione; possiamo considerare N × m come una nuova parte letterale, quindi, 6 N × m è un nuovo monomio.
In questo esempio particolare la parte letterale N × m si riscrive con un'unica lettera, J, ad indicare una misura (il Joule) per una nuova grandezza fisica (il lavoro).

Quindi possiamo scrivere che:

La moltiplicazione tra due monomi (anche diversi) si può sempre fare, ed il risultato è un nuovo monomio.

Ad esempio 2a × 5b = 10ab, e ab può esser considerata una nuova quantità, diversa sia da a che da b.
Se due monomi sono simili, possiamo utilizzare le potenze per semplificare la scrittura (come si fa in geometria):
2cm ∙ 3cm = 6cm²
Analogamente: 4a × 5a = 20a²

La divisione al contrario non sempre va bene: possiamo dividere due monomi tra loro solo il dividendo (il primo) ha tutte le lettere del divisore (il secondo).
3a : 3a = 1 (caso semplice...)
4a : 2a = 2 (caso ancora semplice...)
3a : 10 = 0,3a (i coefficienti possono sempre esser divisi...)
6ab : 2b = 3a (basta fare la prova: 3a × 2b = ...)
6a : b = ??? (in questo caso non possiamo fare la divisione!)

Riepiloghiamo cosa sappiamo e cosa possiamo fare:

  1. Una lettera rappresenta una quantità di cui si ignora il valore; in matematica una lettera rappresenta un possibile numero.
  2. Un monomio è una moltiplicazione tra numeri e lettere (anche i numeri sono monomi).
  3. Due monomi si possono addizionare (o sottrarre) solo se hanno identica parte letterale (se sono simili).
  4. La somma di due monomi simili è un nuovo monomio simile ai primi due, avente per coefficiente la somma dei coefficienti.
  5. Due monomi si possono sempre moltiplicare tra loro.
  6. Il prodotto tra due monomi è un monomio in cui il coefficiente è il prodotto dei coefficienti, e la parte letterale è il prodotto delle parti letterali.
  7. Due monomi si possono dividere tra loro solo se il dividendo contiene tutte le lettere del divisore e con esponente maggiore o uguale all'esponente presente nel divisore.

Moltiplicazione tra polinomi


Consideriamo il seguente esempio:

Esempio 3. Supponiamo che in un negozio ci siano dei pacchi-regalo natalizi (PR), ognuno avente un panettone (p), tre torroni (t) e una ventina di cioccolatini (c); possiamo scrivere ogni pacco come PR = p + 3t + 20c.

Se compro quattro pacchi, quanti dolci ho in tutto? Ovviamente basta moltiplicare per 4 tutti i singoli gruppi di dolci, e ottengo 4 panettoni, 12 torroni, 80 cioccolatini; in formule, gli acquisti sono:
A = PR × 4 = (p + 3t + 20c) × 4 = 4p + 12t + 80c.

Questa regola è la proprietà distributiva, e ci permette di moltiplicare (o dividere) un insieme di diverse quantitè (quindi un polinomio) per un numero.

Abbiamo visto come sia abbastanza semplice moltiplicare un polinomio per un numero (esempio del pacco natalizio): ogni quantità del polinomio, quindi ogni monomio, viene moltiplicato per quel numero.

polinomio
Figura 1

Riprendiamo l'esempio della distribuzione delle ore in una classe, descritto nella pagina precedente (esempio 1). Come sono distribuite in un mese (o meglio, 4 settimane)? Basta moltiplicare per 4 tutti i monomi, come si vede in figura 1.
Come conseguenza si ha che ogni colonna (ogni monomio) viene moltiplicata 4 volte e perciò:
P × 4 = (5it + 5m + 3in + 3l + 2s + 2g + 2d + 2ef + r) × 4 =
= 20it + 20m + 12in + 12l + 8s + 8g + 8d + 8ef + 4r.

In quattro settimane dunque quella classe ha 20 ore di italiano, 20 di matematica, 12 di inglese e di latino, 8 di storia, geografia e disegno, 4 di religione.

Analogamente si può fare la moltiplicazione tra un polinomio e un monomio: è sufficiente moltiplicare ogni quantità del polinomio per quel monomio.
Ad esempio: (a + b) • c = ac + bc, e possiamo verificare questo risultato mettendo al posto delle tre lettere qualunque numero: infatti se osserviamo bene questa uguaglianza altri non è che la vecchia proprietà distributiva!

Passiamo quindi a studiare il prodotto in generale tra più polinomi. Riprendendo l'ultimo esempio fatto, basta sostituire al monomio c un qualunque polinomio. Ma che cosa si ottiene? Beh, bisogna ripetere quello fatto per c con tutte le quantità del nuovo polinomio, ad esempio:
(a + b) • (x + y + z) = (a + b) • x + (a + b) • y + (a + b) • z = ax + bx + ay + by + az + bz

polinomio
Figura 2

Bisogna quindi combinare tutti i monomi del primo polinomio con tutti i monomi del secondo per mezzo di moltiplicazioni, come mostrato in figura 2.

I monomi del risultato, le diverse quantità, sono rappresentate nello schema a destra dai blocchi di diverso colore presenti nel rettangolo: il blocco rosso chiaro è ax, quello blu chiaro è bx, e così via; si può osservare come questa regola non dipenda dal valore che possono assumere le lettere: al posto di a e b possiamo mettere un qualunque numero, e la griglia si allungherà o restringerà di conseguenza.

Alla lista di poco fa possiamo aggiungere quindi altre regole:

  1. Due monomi non simili non possono esser sommati, ma formano un polinomio (anche gli stessi monomi sono polinomi).
  2. Due polinomi possono sempre esser sommati, e la loro somma è un nuovo polinomio (a proposito, perché?...)
  3. Un polinomio è sempre moltiplicabile per un numero e il risultato è un polinomio con lo stesso numero di monomi, aventi coefficienti diversi.
  4. Un polinomio è sempre divisibile per un numero, purché diverso da zero e il risultato è un polinomio con lo stesso numero di monomi, aventi coefficienti diversi.
  5. Due polinomi si possono sempre moltiplicare tra loro e il loro prodotto è un nuovo polinomio, in genere più lungo di quelli iniziali.

Purtroppo si capisce anche che l'operazione di moltiplicazione tra polinomi complica molto la scrittura, poiché i termini del risultato possono essere davvero molti: supponiamo di moltiplicare tra loro due quadrinomi (polinomi con 4 monomi), otteniamo un risultato di 16 monomi!
Fortunatamente spesso molti dei monomi ottenuti sono simili tra loro, quindi si possono ridurre tra loro!

Esempio 4. Risolviamo l'espressione (a + 1) • (a − 2), utilizzando le regole viste.

(a + 1) • (a − 2)   =

=   (a)•(a)   +   (a)•(-2)   +   (1)•(a)   +   (1)•(-2)   =

=   a²   − 2a   + a   − 2   =

= a²   − a   − 2

In alcuni casi particolari è possibile prevedere il risultato ottenuto dopo tutte le possibili riduzioni e semplificazioni: i tali casi si parla di prodotti notevoli.


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