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Introduzione - Operazioni tra lettere - Prodotti notevoli

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Moltiplicazione e divisione tra monomi

I monomi sono un prodotto tra numeri e lettere, sono quindi il risultato di una o più moltiplicazioni; i polinomi sono una somma algebrica di monomi, sono quindi il risultato di addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni tra numeri e lettere.
Cosa accade in generale? I monomi si possono moltiplicare o dividere tra loro? Beh, qui si complica un po' la questione: riprendendo gli esempi iniziali, nella vita quotidiana la moltiplicazione e la divisione avvengono quasi sempre tra qualcosa e un numero semplice: se devo dare 5 euro a ognuno dei miei quattro amici non faccio 5 euro × 4 amici, ma solo 5 euro × 4, e ottengo come risultato 20 euro. In formule:
5 € × 4 = 20 €

Se poi questi 20 € devono esser distribuiti a 10 persone, devo fare:
20 € : 10 = 2 €

Posso moltiplicare due quantità tra loro? e due quantità diverse? Nella vita quotidiana in genere non è possibile, a meno che non ci ricolleghiamo a materie scientifiche come la geometria o la fisica.

In fisica ad esempio usiamo sempre i monomi, quando utilizziamo le misure: 3cm, 1 litro, 2kg, 20 secondi, 50 MHz sono esempi di monomi, in quanto sono determinate quantità: nei problemi scolastici non ci interessa tanto quant'è lungo esattamente un centimetro, ma che è qualcosa uguale per tutti.

Quindi possiamo scrivere che:

Ad esempio 2a × 5b = 10ab, e ab può esser considerata una nuova quantità, diversa sia da a che da b.
Se due monomi sono simili, possiamo utilizzare le potenze per semplificare la scrittura (come si fa in geometria):
2cm ∙ 3cm = 6cm²
Analogamente: 4a × 5a = 20a²

La divisione al contrario non sempre va bene: possiamo dividere due monomi tra loro solo il dividendo (il primo) ha tutte le lettere del divisore (il secondo).
3a : 3a = 1 (caso semplice...)
4a : 2a = 2 (caso ancora semplice...)
3a : 10 = 0,3a (i coefficienti possono sempre esser divisi...)
6ab : 2b = 3a (basta fare la prova: 3a × 2b = ...)
6a : b = ??? (in questo caso non possiamo fare la divisione!)

Moltiplicazione tra polinomi

Consideriamo il seguente esempio:

Questa regola è la proprietà distributiva, e ci permette di moltiplicare (o dividere) un insieme di diverse quantitè (quindi un polinomio) per un numero.

Abbiamo visto come sia abbastanza semplice moltiplicare un polinomio per un numero (esempio del pacco natalizio): ogni quantità del polinomio, quindi ogni monomio, viene moltiplicato per quel numero.

Riprendiamo l'esempio della distribuzione delle ore in una classe, descritto nella pagina precedente (esempio 1). Come sono distribuite in un mese (o meglio, 4 settimane)? Basta moltiplicare per 4 tutti i monomi, come si vede in figura 1.
Come conseguenza si ha che ogni colonna (ogni monomio) viene moltiplicata 4 volte e perciò:
P × 4 = (5it + 5m + 3in + 3l + 2s + 2g + 2d + 2ef + r) × 4 =
= 20it + 20m + 12in + 12l + 8s + 8g + 8d + 8ef + 4r.

In quattro settimane dunque quella classe ha 20 ore di italiano, 20 di matematica, 12 di inglese e di latino, 8 di storia, geografia e disegno, 4 di religione.

Analogamente si può fare la moltiplicazione tra un polinomio e un monomio: è sufficiente moltiplicare ogni quantità del polinomio per quel monomio.
Ad esempio: (a + b) • c = ac + bc, e possiamo verificare questo risultato mettendo al posto delle tre lettere qualunque numero: infatti se osserviamo bene questa uguaglianza altri non è che la vecchia proprietà distributiva!

Passiamo quindi a studiare il prodotto in generale tra più polinomi. Riprendendo l'ultimo esempio fatto, basta sostituire al monomio c un qualunque polinomio. Ma che cosa si ottiene? Beh, bisogna ripetere quello fatto per c con tutte le quantità del nuovo polinomio, ad esempio:
(a + b) • (x + y + z) = (a + b) • x + (a + b) • y + (a + b) • z = ax + bx + ay + by + az + bz

Bisogna quindi combinare tutti i monomi del primo polinomio con tutti i monomi del secondo per mezzo di moltiplicazioni, come mostrato in figura 2.

I monomi del risultato, le diverse quantità, sono rappresentate nello schema a destra dai blocchi di diverso colore presenti nel rettangolo: il blocco rosso chiaro è ax, quello blu chiaro è bx, e così via; si può osservare come questa regola non dipenda dal valore che possono assumere le lettere: al posto di a e b possiamo mettere un qualunque numero, e la griglia si allungherà o restringerà di conseguenza.

Purtroppo si capisce anche che l'operazione di moltiplicazione tra polinomi complica molto la scrittura, poiché i termini del risultato possono essere davvero molti: supponiamo di moltiplicare tra loro due quadrinomi (polinomi con 4 monomi), otteniamo un risultato di 16 monomi!
Fortunatamente spesso molti dei monomi ottenuti sono simili tra loro, quindi si possono ridurre tra loro!

In alcuni casi particolari è possibile prevedere il risultato ottenuto dopo tutte le possibili riduzioni e semplificazioni: i tali casi si parla di prodotti notevoli.

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