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Introduzione - Sostituzione - Confronto - Riduzione - Cramer - Disequazioni

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Un sistema algebrico è un insieme contenente due o più condizioni, espresse da equazioni o disequazioni, elencate una sotto l'altra, raggruppate da una grande parentesi graffa aperta, posta alla loro sinistra.
Risolvere un sistema algebrico significa trovare (se esistono) eventuali soluzioni che verificano contemporaneamente tutte le condizioni elencate nel sistema: di conseguenza per risolvere un sistema si devono cercare le soluzioni comuni a tutte le equazioni o disequazioni presenti.

Sistemi di equazioni


Un sistema di equazioni è un sistema contenente solamente equazioni, che però possono essere di qualunque grado e contenere anche più incognite.

Il grado di un sistema è in prodotto dei gradi delle singole equazioni del sistema; il grado ci dice qual è il massimo numero di soluzioni di un sistema; in particolare un sistema avente tutte equazioni di primo grado è anch'esso di primo grado, ed è chiamato sistema lineare.

Le soluzioni del sistema si ottengono dall'intersezione delle soluzioni delle singole equazioni; in base alle soluzioni che un sistema possiede, esso si definisce:

  • determinato se esiste un numero finito e non nullo di soluzioni;
  • indeterminato se esiste un numero infinito di soluzioni;
  • impossibile se non esiste alcuna soluzione.

Se ad esempio alcune equazioni non hanno soluzioni in comune o se una o più delle equazioni presenti è impossibile, allora la soluzione del sistema è l'insieme vuoto, e il sistema è impossibile.

Al contrario se una equazione presente nel sistema è una identità, allora non influisce nella soluzione del sistema, quindi può esser trascurata.

In generale se prendiamo due o più equazioni nella stessa incognita, risolvere il sistema è molto facile, in quanto è sufficiente osservare se compaiono soluzioni comuni a tutte le equazioni presenti; in caso ciò non avvenga il sistema è impossibile.

Più interessante (ed impegnativo) è il caso in cui le equazioni posseggano più incongite: in tal caso ogni equazione, presa di per sé, è indeterminata, possedendo infinite soluzioni, ma non è necessariamente una identità, per cui può influenzare la soluzione finale.
Ad esempio due equazioni, ciascuna in due incognite, posseggono infinite soluzioni, per cui è possibile studiare se alcune di queste soluzioni sono comuni ad entrambe.

Maggiore è il numero delle incognite coinvolte, maggiore è la possilità che il sistema sia indeterminato.

Al contrario maggiore è il numero delle equazioni* presenti nel sistema, maggiore è la possilità che il sistema sia impossibile.

Un sistema può esser determinato solo se possiede un numero di equazioni* pari al numero delle incognite coinvolte.

* dal numero di equazioni presenti si escludono le identità, in quanto non possono alterare il tipo di sistema.
Se un sistema coinvolge più incognite, ogni soluzione è formata da un vettore, ossia un insieme ordinato di valori, ciascuno corrispondente ad una incognita.

Esempio 1. Analizziamo il seguente il sistema:

⎧ x + y = 6

⎩ y = x²

Tale sistema è di secondo grado, con 2 equazioni in 2 incognite; inoltre è determinato, possedendo due soluzioni:

(+2; +4)   o   (−3; +9)

Osserviamo che ogni soluzione è formata da un vettore: una coppia di numeri racchiusi tra parentesi tonde, come le coordinate del piano cartesiano: il numero a sinistra corrisponde alla x, quello a destra corrisponde alla y. Solo queste due coppie verificano entrambe le equazioni: ogni altra coppia può verificarne una sola, o non verificarne nessuna delle due.

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I sistemi lineari


Ricordiamo che un sistema è chiamato lineare se è di primo grado, quindi se tutte le equazioni presenti sono di primo grado.

Un sistema lineare è ridotto in forma normale se in tutte le equazioni le incognite con i loro coefficienti si trovano al primo membro, mentre i termini noti al secondo membro.

In queste pagine studieremo sistemi lineari con 2 equazioni in 2 incognite; per lo studio di tali sistemi è possibile utilizza alcuni metodi che permettono di arrivare a determinare la soluzione del sistema, nel caso sia determinato, oppure a stabilire se sia indeterminato o impossibile:

  1. metodo di sostituzione;
  2. metodo di confronto;
  3. metodo di riduzione;
  4. metodo di Cramer.

I primi tre metodi sono abbastanza simili tra loro, in quanto operano sulle equazioni presenti nel sistema; il quarto metodo invece è molto diverso, in quanto utilizza le tecniche delle matrici e dei determinanti.

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