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Introduzione - Sostituzione - Confronto - Riduzione - Cramer - Disequazioni

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Sistemi di equazioni


Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni, elencate una sotto l'altra, raggruppate da una grande parentesi graffa aperta, posta alla loro sinistra.
Risolvere un sistema significa trovare (se esistono) eventuali soluzioni comuni a tutte le equazioni presenti.

Il grado di un sistema è in prodotto dei gradi delle singole equazioni del sistema; il grado ci dice qual è il massimo numero di soluzioni di un sistema.

La soluzione del sistema è l'intersezione delle soluzioni delle singole equazioni; un sistema è:

  • determinato se esiste un numero finito e non nullo di soluzioni;
  • indeterminato se esiste un numero infinito di soluzioni;
  • impossibile se non esiste alcuna soluzione.

Se ad esempio alcune equazioni non hanno soluzioni in comune o se una o più delle equazioni presenti è impossibile, allora la soluzione del sistema è l'insieme vuoto, e il sistema è impossibile.

Al contrario se una equazione presente nel sistema è una identità, allora non influisce nella soluzione del sistema, quindi può esser trascurata.

In generale se prendiamo due o più equazioni nella stessa incognita, risolvere il sistema è molto facile, in quanto è sufficiente osservare se compaiono soluzioni comuni a tutte le equazioni presenti; in caso ciò non avvenga il sistema è impossibile.

Più interessante (ed impegnativo) è il caso in cui le equazioni posseggano più incongite: in tal caso ogni equazione, presa di per sé, è indeterminata, possedendo infinite soluzioni, ma non è necessariamente una identità, per cui può influenzare la soluzione finale.
Ad esempio due equazioni, ciascuna in due incognite, posseggono infinite soluzioni, per cui è possibile studiare se alcune di queste soluzioni sono comuni ad entrambe.

Maggiore è il numero delle incognite coinvolte, maggiore è la possilità che il sistema sia indeterminato.

Al contrario maggiore è il numero delle equazioni* presenti nel sistema, maggiore è la possilità che il sistema sia impossibile.

Un sistema può esser determinato solo se possiede un numero di equazioni* pari al numero delle incognite coinvolte.

* dal numero di equazioni presenti si escludono le identità, in quanto non possono alterare il tipo di sistema.
Se un sistema coinvolge più incognite, ogni soluzione è formata da un vettore, ossia un insieme ordinato di valori, ciascuno corrispondente ad una incognita.

Esempio 1.

Consideriamo il sistema formato dalle seguenti equazioni:

⎧ x + y = 6

⎩ y = x²

Tale sistema è di secondo grado, con 2 equazioni in 2 incognite; inoltre è determinato, possedendo due soluzioni:

(+2; +4)   o   (−3; +9)

Osserviamo che ogni soluzione è formata da un vettore: una coppia di numeri racchiusi tra parentesi tonde, come le coordinate del piano cartesiano: il numero a sinistra corrisponde alla x, quello a destra corrisponde alla y. Solo queste due coppie verificano entrambe le equazioni: ogni altra coppia può verificarne una sola, o non verificarne nessuna delle due.

I sistemi lineari


Un sistema è chiamato lineare se è di primo grado, quindi se tutte le equazioni presenti sono di primo grado.

Un sistema lineare è ridotto in forma normale se in tutte le equazioni le incognite con i loro coefficienti si trovano al primo membro, mentre i termini noti al secondo membro.

In queste pagine studieremo sistemi lineari con 2 equazioni in 2 incognite; per lo studio di tali sistemi è possibile utilizza alcuni metodi che permettono di arrivare a determinare la soluzione del sistema, nel caso sia determinato, oppure a stabilire se sia indeterminato o impossibile:

  1. metodo di sostituzione;
  2. metodo di confronto;
  3. metodo di riduzione;
  4. metodo di Cramer.

I primi tre metodi sono abbastanza simili tra loro, in quanto operano sulle equazioni presenti nel sistema; il quarto metodo invece è molto diverso, in quanto utilizza le tecniche delle matrici e dei determinanti.


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