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Introduzione - Sostituzione - Confronto - Riduzione - Cramer - Disequazioni

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Attenzione: può accadere che alcuni simboli non siano visualizzati correttamente, leggi le info alla sezione compatibilità.

Il metodo di confronto


Questo metodo è una variante del metodo di sostutuzione; può esser applicato quando in entrambe le equazioni può esser facilmente esplicitata la stessa lettera.

Descrizione dei passaggi:

  1. Semplificazione. Si svolgono evenutali calcoli presenti nelle due equazioni; occorre quindi individuare se in entrambe le equazioni sia presente una lettera da esplicitare in modo semplice.
  2. Esplicitazione. Isoliamo l'incognita scelta, in entrambe le equazioni, lasciandola (o portandola) al primo membro, portando tutti gli altri termini a secondo membro; se l'incognita possiede un coefficiente o un segno negativo, moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri per un numero opportuno, al fine di lasciare l'incognita da sola a sinistra. L'espressione che si ottiene a destra non dovrà quindi contenere tale incognita, ma solo numeri ed eventualmente l'altra incognita.
  3. Confronto. Uguagliamo tra loro i secondi membri delle due equazioni, formando una nuova equazione, avente una sola incognita.
  4. 1ª Risoluzione. Risolviamo questa nuova equazione, svolgendo i calcoli:
    ▪ se l'equazione è indeterminata, allora il sistema è indeterminato, e lo studio termina qui;
    ▪ se l'equazione è impossibile, allora il sistema è impossibile, e lo studio termina qui;
    ▪ se l'equazione è determinata, otteniamo la soluzione per l'incognita presente, e lo studio va avanti.
  5. Sostituzione. Se l'altra incognita non è stata ancora determinata, occorre ora sostituire il valore ottenuto all'interno di una delle due equazioni, al posto dell'incognita non esplicitata.
  6. 2ª Risoluzione. Svolgendo i calcoli otteniamo anche il valore dell'altra incognita e il sistema è risolto.

Osserviamo che questo metodo riprende in buona parte dei passaggi il metodo di sostituzione visto in precedenza.

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Esempi



Esempio 4.

Studiamo il sistema:

⎧ 3x + y + 3= 2(x + y) + 1

⎩ (2x − 3)² = (2x − y)(2x + y) + y(y − 1)

Iniziamo svolgendo i calcoli in entrambe le equazioni:

⎧ 3x + y + 3 = 2x + 2y + 1

⎩ 4x² − 12x + 9 = 4x² − y² + y² − y

Le equazioni, ridotte ai minimi termini, diventano:

⎧ x − y + 2 = 0

⎩ y − 12x + 9 = 0

Passiamo quindi all'esplicitazione di entrambe le equazioni: vogliamo esplicitare la y:

⎧ y = x + 2

⎩ y = 12x − 9

Costruiamo la nuova equazione, confrontando i secondi membri:

x + 2 = 12x − 9

Risolviamo l'equazione, ottendendo:

x = 1

Sostituiamo il valore trovato (x = 1) nella prima equazione:

⎧ y = 1 + 2

⎩ x = 1

Svolgendo i calcoli:

⎧ y = 3

⎩ x = 1

Il sistema è determinato: possiede una unica soluzione (essendo di primo grado) che è la coppia (1; 3).


Esempio 5.

Proviamo ora a studiare il seguente sistema:

⎧ 4x + y = 3

⎩ 2y − 6 + 8x = 0

Non occorre svolgere calcoli, quindi passiamo all'esplicitazione: osserviamo che nella seconda equazione tutti i coefficienti sono divisibili per 2; semplifichiamo quindi la seconda equazione, quindi esplicitiamo la y in entrambe:

⎧ y = 3 − 4x

⎩ y = 3 − 4x

Costruiamo la nuova equazione, confrontando i secondi membri:

3 − 4x = 3 − 4x

Risolviamo l'equazione, ottendendo:

0 = 0

L'equazione porta al risultato 0 = 0, che è indeterminato.
Di conseguenza il sistema è indeterminato: possiede infinite soluzioni.

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