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Introduzione - Sostituzione - Confronto - Riduzione - Cramer - Disequazioni

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Attenzione: può accadere che alcuni simboli non siano visualizzati correttamente, leggi le info alla sezione compatibilità.

Il metodo di sostituzione


Questo metodo è il più diffuso e il più semplice da imparare; inoltre ha il vantaggio che può esser utilizzato anche sistemi più complessi, come quelli di grado superiore o con più incognite.
In queste pagine rimaniamo ai sistemi di 2 equazioni in 2 incognite.

Descrizione dei passaggi:

  1. Semplificazione. Per prima cosa occorre svolgere evenutali calcoli presenti nelle due equazioni; conviene quindi individuare l'equazione più semplice e, nel caso vi siano due incognite, quella senza coefficienti o con coefficienti minori. Chiameremo questa l'equazione n. 1, mentre quella rimanente la chiameremo equazione n. 2.
  2. Esplicitazione. Isoliamo l'incognita scelta, lasciandola (o portandola) al primo membro, portando tutti gli altri termini a secondo membro; se l'incognita possiede un coefficiente o un segno negativo, moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri per un numero opportuno, al fine di lasciare l'incognita da sola a sinistra. L'espressione che si ottiene a destra non dovrà quindi contenere tale incognita, ma solo numeri ed eventualmente l'altra incognita.
  3. 1ª Sostituzione. L'espressione ottenuta va inserita nell'equazione n. 2, al posto dell'incognita scelta, ogni volta che compare, e rispettando l'ordine delle operazioni presenti (in questi casi è utile aiutarsi mettendo delle parentesi.
  4. 1ª Risoluzione. L'equazione n. 2 ora possiede una sola incognita, quindi possiamo risolverla svolgendo i calcoli:
    ▪ se l'equazione è indeterminata, allora il sistema è indeterminato, e lo studio termina qui;
    ▪ se l'equazione è impossibile, allora il sistema è impossibile, e lo studio termina qui;
    ▪ se l'equazione è determinata, otteniamo la soluzione per l'incognita presente, e lo studio va avanti.
  5. 2ª Sostituzione. Se la prima incognita non è stata ancora determinata, occorre ora sostituire il valore ottenuto all'interno dell'equazione n. 1, al posto dell'incognita non esplicitata.
  6. 2ª Risoluzione. Svolgendo i calcoli otteniamo anche il valore dell'altra incognita e il sistema è risolto.

Troppo complicato? Con qualche esempio diventerà tutto molto più chiaro.

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Esempi



Esempio 2.

Proviamo a risolvere il seguente sistema:

⎧ 2x + y = 8

⎩ x − y + 1 = 0

Non occorre svolgere calcoli, quindi passiamo all'esplicitazione: partiamo dalla seconda equazione, in cui vogliamo esplicitare la x:

⎧ 2x + y = 8

⎩ x = y + 1

Sostituiamo l'espressione (y + 1) all'interno della prima equazione, al posto della x:

⎧ 2(y + 1) + y = 8

⎩ x = y + 1

Svolgendo i calcoli:

⎧ 2y + 2 + y = 8

⎩ x = y + 1

Risolviamo la prima equazione:

⎧ y = 2

⎩ x = y + 1

Sostituiamo il valore trovato (y = 2) nella seconda equazione:

⎧ y = 2

⎩ x = 2 + 1

Svolgendo i calcoli:

⎧ y = 2

⎩ x = 3

Il sistema è determinato: possiede una unica soluzione (essendo di primo grado) che è la coppia (3; 2) *.

* Ricordiamo che quando mettiamo i numeri nelle parentesi, devono corrispondere alle lettere, messe in ordine alfabetico.


Esempio 3.

Proviamo ora a risolvere questo sistema:

⎧ 4x + 2y + 7 = 0

⎩ 9 − 6x = 3y

Non occorre svolgere calcoli, quindi passiamo all'esplicitazione: osserviamo che nella seconda equazione tutti i coefficienti sono divisibili per 3; partiamo quindi dalla seconda equazione ed esplicitiamo la y, che ha coefficiente minore:

⎧ 4x + 2y + 7 = 0

⎩ y = 3 − 2x

Sostituiamo l'espressione (3 − 2x) all'interno della prima equazione, al posto della y:

⎧ 4x + 2(3 − 2x) + 7 = 0

⎩ y = 3 − 2x

Svolgendo i calcoli nella prima equazione:

⎧ 4x + 6 − 4x + 7 = 0

⎩ y = 3 − 2x

La prima equazione porta al risultato 13 = 0, che è impossibile.
Di conseguenza il sistema è impossibile: non possiede soluzioni.

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