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Introduzione - Sostituzione - Confronto - Riduzione - Cramer - Disequazioni

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Sistemi di disequazioni


La differenza fondamentale tra un'equazione ed una disequazione a valori reali è che una disequazione, anche quando è determinata, possiede infinite soluzioni, o meglio, intervalli di soluzioni, mentre ricordiamo che una equazione determinata ha un numero finito di soluzioni.

Un sistema di disequazioni con una sola incognita è quindi meno banale di un sistema di equazioni; di conseguenza quando si parla di sistemi di disequazioni in genere si sottointende con una sola incognita.

Risolvere un sistema di disequazioni consiste nei seguenti passaggi:

  • trovare le soluzioni delle singole disequazioni, separatamente una per volta;
  • confrontare le soluzioni per vedere se hanno intervalli in comune.

La soluzione del sistema corrisponde all'intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni, quindi all'insieme degli intervalli che sono contenuti in tutte le soluzioni trovate.

Per confrontare le soluzioni e determinare la corretta intersezione, è utile aiutarsi con una tabella, in cui si rappresentano le singole soluzioni rispetto all'asse dei numeri reali. Ad esempio se la disequazione 1 ha per soluzione x > 3 si può rappresentare così:

x   3  
dis1      

In cui indichiamo in nero la retta dei numeri reali (crescente da sinistra a destra) e in verde la parte corrispondente alla soluzione.

Se al contrario la disquazione 2 ha per soluzione 0 < x < 5, la rappresentazione sarà:

x   0   5  
dis2            

Osserviamo che sull'asse dei numeri reali indichiamo solamente i numeri che servono a noi.

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Esempi



Esempio 10

Confrontiamo le due soluzioni viste adesso:

⎧ x > 3

⎩ 0 < x < 5

La rappresentazione sarà:

x   0   3   5  
dis1              
dis2              
sol                

In blu abbiamo evidenziato la zona comune alle due soluzioni, e quindi la soluzione del sistema:

3 < x < 5.


Esempio 11.

Proviamo ora a risolvere questo sistema, formato da due disequazioni di 2° grado:

⎧ x² + 5x − 6 ≥ 0

⎩ x² − 4 < 0

Entrambe le disequazioni si possono studiare con il metodo della concordanza:

  • la prima disequazione ha come zeri x = 1 e x = −6; c'è concordanza, quindi dobbiamo prendere gli intervalli esterni.
    La soluzione è x ≤ −6 ∨ x ≥ 1.
  • la seconda disequazione ha come zeri x = ±2; c'è discordanza, quindi dobbiamo prendere l'intervallo interno.
    La soluzione è −2 < x < 2.

Rappresentiamo adesso le due soluzioni nel grafico delle intersezioni:

x   -6   -2   1   2  
dis1                  
dis2                  
sol                  

In blu abbiamo evidenziato la zona comune alle due soluzioni, e quindi la soluzione del sistema:

1 ≤ x < 2.


Esempio 12.

Risolviamo infine un sistema con tre disequazioni, applicando lo stesso principio.

⎧ x² + x + 1 ≥ 0
⎪ 
⎨ 4x − 12 < 0
⎪ 
⎩ 3x² − 6x ≥ 0

Risolviamo le tre disequazioni, una per volta:

  • la prima disequazione non ha zeri reali, avendo il Δ negativo; per la regola della concordanza, è verificata per ogni numero reale.: nel grafico la linea verde coprirà tutti i valori possibili;
  • la seconda disequazione è di primo grado, la sua soluzione è x < 3;
  • la terza disequazione è spuria, ha come zeri x = 0 e x = 2; dobbiamo prendere l'intervallo interno, quindi la sua soluzione è x ≤ 0 ∨ x ≥ 2.

Rappresentiamo adesso le due soluzioni nel grafico delle intersezioni:

x   0   2   3  
dis1              
dis2              
dis3              
sol              

La soluzione del sistema è:

x ≤ 0 ∨ 2 ≤ x < 3.

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