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Introduzione - Sostituzione - Confronto - Riduzione - Cramer - Disequazioni

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Attenzione: può accadere che alcuni simboli non siano visualizzati correttamente, leggi le info alla sezione compatibilità.

Il metodo di Cramer


Il metodo consiste nell'associare al sistema in forma normale 3 diverse matrici, di ognuna delle quali si deve calcolare il determinante.

Matrici e determinanti:

Ricordiamo che:

Una Matrice è una griglia rettangolare di numeri, disposti in righe e colonne.

Il Determinante di una matrice è un numero che si ottiene operando sui numeri presenti nella matrice.

Dato un sistema in forma normale, possiamo formare 3 matrici associate:

  • la matrice dei coefficienti, il cui determinante è indicato con Δ
  • la matrice della x, il cui determinante è indicato con Δ x
  • la matrice della y, il cui determinante è indicato con Δ y

Consideriamo il seguente sistema generico, in forma normale:

⎧ ax + by = c

⎩ dx + ey = f

La matrice dei coefficienti si ottiene disponendo nella griglia della matrice i 4 coefficienti delle incognite delle 2 equazioni: nella prima righa i coefficienti della x e della y della prima equazione; nella seconda righa i coefficienti della x e della y della seconda equazione; se la x o la y non compaiono, il coefficiente corrispondente è zero.
Il determinante di una matrice 2×2 si ottiene moltiplicando i numeri nelle due diagonali e poi sottraendo i due risultati ottenuti. Ad esempio il determinate della matrice dei coefficienti corrisponde all'espressione:

Δ   =
ab
de
=   a · e − b · d

La matrice della x di ottiene sostituendo ai coefficienti della x i due termini noti; il determinante della x corrisponde all'espressione:

Δ x   =
cb
fe
=   c · e − f · b

Infine la matrice della y di ottiene sostituendo ai coefficienti della y i due termini noti; il determinante della y corrisponde all'espressione:

Δ y   =
ac
df
=   a · f − d · c

Vediamo ora come risolvere un sistema con il metodo di Cramer.

Descrizione dei passaggi:

  1. Semplificazione. Per prima cosa occorre svolgere evenutali calcoli presenti nelle due equazioni; per procedere il sistema deve esser ridotto in forma normale.
  2. Matrice dei coefficienti. Calcoliamo Δ, secondo la regola vista. Se Δ = 0 il sistema non è determinato: può esser indeterminato o impossibile.
  3. Matrice della x. Calcoliamo Δ x, secondo la regola vista.
  4. Matrice della y. Calcoliamo Δ y, secondo la regola vista.
  5. Analisi. Possono verificarsi i casi seguenti:
    ▪ se Δ = 0 e anche Δx = 0, allora il sistema è indeterminato;
    ▪ se Δ = 0, ma Δx ≠ 0, allora il sistema è impossibile;
    ▪ se Δ ≠ 0, il sistema è determinato.
  6. Risoluzione. Se il sistema è determinanti, allora le soluzioni si trovano nel seguente modo:
    x = Δx ∶ Δ   e   y = Δy ∶ Δ

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Esempi


E ora un paio di esempi.

Esempio 8.

Semplifichiamo il seguente sistema e risolviamolo con il metodo di Cramer:

⎧ 2(x + 1) − 3y = x − 3 − y

⎩ (x + 3)(x − 2) = x(x + 3) − 3y

Svolgiamo i calcoli:

⎧ 2x + 2 − 3y = x − 3 − y

⎩ x² + 3x − 2x − 6 = x² + 3x − 3y

Semplifichiamo e riduciamo in forma normale:

⎧ x − 2y = − 5

⎩ − 2x + 3y = 6

Calcoliamo Δ:

Δ = (1) · (3) − (−2) · (−2) = −1

Calcoliamo Δ x:

Δ x = (−5) · (3) − (6) · (−2) = −3

Calcoliamo Δ x:

Δ y = (1) · (6) − (−2) · (−5) = −4

Il sistema è determinato e la soluzione è data dalla coppia:

x = Δx ∶ Δ = (−3) ∶ (−1) = +3

y = Δy ∶ Δ = (−4) ∶ (−1) = +4


Esempio 9.

Studiamo il seguente sistema, già ridotto a forma normale:

⎧ x + 4y = 8

⎩ 2x + 8y = − 1

Calcoliamo Δ:

Δ = (1) · (8) − (2) · (4) = 0

Poiché Δ = 0, il sistema non è determinato; per capire se è indeterminato o impossibile è sufficiente studiare solo Δx:

Δ x = (8) · (8) − (−1) · (4) = 68

Δ ≠ 0, quindi il sistema è impossibile.

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