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Il metodo di Cramer
Esempi
Attenzione: può accadere che alcuni simboli non siano visualizzati correttamente, leggi le info alla sezione compatibilità.
Il metodo di Cramer
Il metodo consiste nell'associare al sistema in forma normale 3 diverse matrici, di ognuna delle quali si deve calcolare il determinante.
Matrici e determinanti:
Ricordiamo che:
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Una Matrice è una griglia rettangolare di numeri, disposti in righe e colonne.
Il Determinante di una matrice è un numero che si ottiene operando sui numeri presenti nella matrice.
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Dato un sistema in forma normale, possiamo formare 3 matrici associate:
- la
matrice dei coefficienti , il cui determinante è indicato con Δ
- la
matrice della x , il cui determinante è indicato con Δ x
- la
matrice della y , il cui determinante è indicato con Δ y
Consideriamo il seguente sistema generico, in forma normale:
⎧ ax + by = c
⎨
⎩ dx + ey = f
La matrice dei coefficienti si ottiene disponendo nella griglia della matrice i 4 coefficienti delle incognite delle 2 equazioni: nella prima righa i coefficienti della x e della y della prima equazione; nella seconda righa i coefficienti della x e della y della seconda equazione; se la x o la y non compaiono, il coefficiente corrispondente è zero.
Il determinante di una matrice 2×2 si ottiene moltiplicando i numeri nelle due diagonali e poi sottraendo i due risultati ottenuti. Ad esempio il determinate della matrice dei coefficienti corrisponde all'espressione:
La matrice della x di ottiene sostituendo ai coefficienti della x i due termini noti; il determinante della x corrisponde all'espressione:
Infine la matrice della y di ottiene sostituendo ai coefficienti della y i due termini noti; il determinante della y corrisponde all'espressione:
Vediamo ora come risolvere un sistema con il metodo di Cramer.
Descrizione dei passaggi:
- Semplificazione. Per prima cosa occorre svolgere evenutali calcoli presenti nelle due equazioni; per procedere il sistema deve esser ridotto in forma normale.
- Matrice dei coefficienti. Calcoliamo Δ, secondo la regola vista. Se Δ = 0 il sistema non è determinato: può esser indeterminato o impossibile.
- Matrice della x. Calcoliamo Δ x, secondo la regola vista.
- Matrice della y. Calcoliamo Δ y, secondo la regola vista.
- Analisi. Possono verificarsi i casi seguenti:
▪ se Δ = 0 e anche Δx = 0, allora il sistema è indeterminato;
▪ se Δ = 0, ma Δx ≠ 0, allora il sistema è impossibile;
▪ se Δ ≠ 0, il sistema è determinato.
- Risoluzione. Se il sistema è determinanti, allora le soluzioni si trovano nel seguente modo:
x = Δx ∶ Δ e y = Δy ∶ Δ
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Esempi
E ora un paio di esempi.
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Esempio 8. Semplifichiamo il seguente sistema e risolviamolo con il metodo di Cramer:
⎧ 2(x + 1) − 3y = x − 3 − y
⎨
⎩ (x + 3)(x − 2) = x(x + 3) − 3y
Svolgiamo i calcoli:
⎧ 2x + 2 − 3y = x − 3 − y
⎨
⎩ x² + 3x − 2x − 6 = x² + 3x − 3y
Semplifichiamo e riduciamo in forma normale:
⎧ x − 2y = − 5
⎨
⎩ − 2x + 3y = 6
Calcoliamo Δ:
Δ = (1) · (3) − (−2) · (−2) = −1
Calcoliamo Δ x:
Δ x = (−5) · (3) − (6) · (−2) = −3
Calcoliamo Δ x:
Δ y = (1) · (6) − (−2) · (−5) = −4
Il sistema è determinato; trovariamo le soluzioni:
x = Δx ∶ Δ = (−3) ∶ (−1) = +3
y = Δy ∶ Δ = (−4) ∶ (−1) = +4
Conclusione: la soluzione del sistema è la coppia (3; 4).
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Esempio 9. Studiamo il seguente sistema, già ridotto a forma normale:
⎧ x + 4y = 8
⎨
⎩ 2x + 8y = − 1
Calcoliamo Δ:
Δ = (1) · (8) − (2) · (4) = 0
Poiché Δ = 0, il sistema non è determinato; per capire se è indeterminato o impossibile è sufficiente studiare solo Δx:
Δ x = (8) · (8) − (−1) · (4) = 68
Conclusione: Δ ≠ 0, quindi il sistema è impossibile.
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