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Definizioni


Il modo più semplice di definire cosa sia un'equazione è il seguente:

Una equazione è un'uguaglianza tra due espressioni letterali, verificata per alcuni valori assegnati alle lettere.

Altre definizioni importanti.

Le lettere studiate all'interno di una equazione si chiamano incognite; i valori numerici che, se sostituiti opportunamente alle incognite, fanno sì che l'uguaglianza sia verificata, si chiamano soluzioni o zeri dell'equazione.
Un'equazione può possere più di una incognita e ogni incognita può comparire più volte; oltre alle incognite possono comparire altre lettere in un'equazione, che possiedono ruoli differenti (ad es. i parametri o le costanti).
Le due espressioni letterali presenti in una equazioni sono chiamate membri dell'equazione.

Le equazioni si classificano in base alle operazioni che coinvolgono l'incognita, presenti nelle espressioni:
- trascendenti: se sono presenti funzioni goniometriche, logaritmiche o esponenziali, in cui compare l'incognita all'interno dell'argomento;
- algebriche: se tali funzioni non sono presenti.

A loro volta, le equazioni algebriche possono essere:
- irrazionali se sono presenti radicali in cui compare l'incognita all'interno del segno di radice;
- razionali se non sono presenti radicali, o se compaiono solamente radicali numerici;
- fratte se sono presenti frazioni in cui compare l'incognita nel denominatore;
- intere se non sono presenti frazioni, o se compaiono solamente frazioni aventi denominatore numerico.

Un'equazione algebrica razionale intera è chiamata polinomiale.

Il grado di una equazione polinomiale (relativo ad un'incognita) è l'esponente più alto con cui compare l'incognita. Il grado di un'equazione indica quindi la complessità di tale equazione, ed è collegato al numero di soluzioni che tale equazione può avere.

Esempio 1.

Consiederiamo l'equazione: 3x² − 5x + 10 = 6(4 − x).
Tale equazione è polinomiale di 2° grado e la lettera x è l'incognita di questa equazione.

Se sostituiamo alla x il valore 2, svolgendo i calcoli otteniamo 12 = 12, per cui il 2 è una soluzione di questa equazione.

Al contrario se sostituiamo alla x il valore 1, svolgendo i calcoli otteniamo 8 = 18, per cui il numero 1 non è una soluzione di questa equazione.

Casi particolari


Un'equazione è definita:
- impossibile nell'insieme dei numeri reali se nessun numero reale è soluzione dell'equazione;
- indeterminata se esiste un numero infinito di soluzioni dell'equazione.
- determinata se esiste un numero finito e non nullo di soluzioni dell'equazione.

Una identità nell'insieme dei numeri reali è una equazione per cui ogni numero reale è soluzione di tale equazione. In altre parole una identità è una uguaglianza sempre vera, indipendentemente dal valore che assegnamo all'incognita.

Attenzione a non confondere le identità con le equazioni indeterminate! Una identità può esser considerata un'equazione indeterminata, ma al contrario un'equazione indeterminata può non essere una identità. Sapere che ci sono un numero infinito di soluzioni non ci garantisce che OGNI numero sia una soluzione!
Inoltre un'equazione può esser una identità in un dato insieme numerico, ma può non esserlo in un altro insieme numerico più esteso.

Esempio 2. Consideriamo alcune semplici equazioni; è facile verificare che:

  • l'equazione x² + 3x = 4 è determinata, avendo come uniche due soluzioni i numeri −4 e +1
  • l'equazione x² + 5 = 0 è impossibile: nessun numero reale elevato al quadrato e addizionato a 5 può risultare zero
  • l'equazione x + 2 = y è indeterminata, avendo due lettere diverse: esistono infinite coppie di numeri che risolvono questa equazione, ad esempio (x=0 e y=2), oppure (x=1 e y=3), e così via....
  • l'equazione 7x + 5 − 3x = 2 + 4x + 3 è una identità: svolgendo i calcoli si ottengono due espressioni identiche nei due membri.

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