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L'operazione radice


Ricordiamo che l'operazione di estrazione a radice è l'operazione inversa all'operazione di elevamento a potenza.

La radice di indice n di un numero reale x è un qualunque numero reale y (se esiste) che elevato alla n dia come risultato y.

y = nx     ⇔     yn = x

x è chiamato Radicando, y Radice e n è detto Indice della radice; l'espressione formata dal simbolo di radice, dall'indice e dal radicando è definito Radicale.

È necessario, prima di andare avanti, fare una importante osservazione.

  • Nel caso l'indice n sia un numero dispari, x può esser un qualunque numero reale e y sarà un numero reale con lo stesso segno di x: se x è positivo, y è positivo; se x è negativo, y è negativo; se x è 0, y è 0.
  • Nel caso l'indice n sia un numero pari, x non può esser negativo; y in linea teorica può avere due valori opposti, ma per evitare ambiguità, per convenzione si sceglie quello positivo.

Di conseguenza i radicali con indice pari necessitano di condizioni di esistenza: il radicando deve esser maggiore o uguale a zero.
Inoltre ogni volta che vediamo il simbolo di radice quadrata (o con ogni altro indice pari) senza alcun segno davanti, diamo per scontato che davanti ci sia il segno più; nel caso volgiamo indicare il caso negativo o entrambe le possibilità dobbiamo specificarlo con gli opportuni segni (− oppure ±).

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Le equazioni irrazionali intere


In una equazione in cui compaiono operazioni di radici, se i radicandi sono espressioni letterali (ossia se dentro la radice compaiono lettere) si parla di equazione irrazionale.

♦ Equazioni con radicali di indice dispari

Nel caso i radicali abbiano indice dispari, risolvere l'equazione è relativamente semplice; nel caso sia presente un solo radicale:

  1. si spostano tutti i termini fuori dalla radice da una parte dell'uguale, mentre il radicale viene lasciato solo dall'altra parte (possibilmente in modo che abbia segno positivo);
  2. si elevano entrambi i membri dell'equazione alla potenza opportuna per annullare la radice;
  3. si risolve l'equazione algebrica ottenuta.

Se è presente più di un radicale, occorre isolare un radicale alla volta, elevando più volte i membri dell'equazione, in modo da annullare di volta in volta tutte le radici presenti.

Esempio 14.

Prendiamo in esempio l'equazione irrazionale seguente:

x + ³√ 8x − 20x² = 3x − 2

Applicando la regola del trasporto, spostiamo il primo termine dal primo al secondo membro, cambiandolo di segno; in questo modo il radicale è rimasto da solo:

³√ 8x − 20x² = 3x − 2 − x

³√ 8x − 20x² = 2x − 2

Eleviamo entrambi i membri al cubo; in questo modo a sinistra la radice scompare, mentre a destra applichiamo la regola del cubo del binomio:

( ³√ 8x − 20x² )³ = (2x − 2)³

8x − 20x² = 8x³ − 24x² + 24x − 8

Una volta eliminata la radice, possiamo spostare tutto al primo membro e ridurre i termini simili:

8x − 20x² − 8x³ + 24x² − 24x + 8

− 8x³ + 4x² − 16x + 8 = 0

8x³ − 4x² + 16x − 8 = 0

Possiamo scomporre in fattori, applicando le regole del raccoglimento totate e poi parziale, ottenendo:

4 (2x − 1) (x² + 2) = 0

Studiando i singoli fattori:

4 = 0   ⇒   impossibile

2x − 1 = 0   ⇒   se x = 1/2

x² + 2 = 0   ⇒   impossibile

Quindi l'equazione ha come soluzione x = 1/2.

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♦ Equazioni con radicali di indice pari

Nel caso i radicali abbiano indice pari, per risolvere l'equazione è necessario svolgere alcuni passaggi in più, rispetto alla situazione precedente; se nell'equazione è presente un solo radicale, si procede nel seguente modo:

  1. si pone la condizione di esistenza (c.e.): il radicando deve esser maggiore o uguale a zero;
  2. si spostano tutti i termini fuori dalla radice da una parte dell'uguale, mentre il radicale viene lasciato solo dall'altra parte, in modo che abbia segno positivo (in caso contrario si cambiano tutti i segni);
  3. si pone la condizione di concordanza del segno (c.c.): l'espressione in cui non compare la radice deve anch'essa esser maggiore o uguale a zero;
  4. si elevano entrambi i membri dell'equazione alla potenza opportuna per annullare la radice;
  5. si risolve l'equazione algebrica ottenuta;
  6. si confrontano le soluzioni trovate con le condizioni poste in precedenza.

Se nell'equazione è presente più di un radicale, occorre porre le c.e. per ogni radicale; quindi si isola un radicale alla volta, elevando più volte i membri dell'equazione, in modo da annullare di volta in volta tutte le radici presenti; in questi casi non conviene porre le condizioni di concordanza, ma al contrario è necessario verificare ogni soluzione trovata, andandola a sostituire all'equazione iniziale.

Esempio 15.

Consiederiamo l'equazione:

3x + 1 − 2 √ 4x − 3 = x + 5

Poniamo la c.e.:

4x − 3 ≥ 0

x ≥ ¾

Applicando la regola del trasporto, spostiamo tutti i termini che sono fuori dalla radice dal primo al secondo membro, cambiandoli di segno; in questo modo il radicale è rimasto da solo:

− 2 √ 4x − 3 = x + 5 − 3x − 1

− 2 √ 4x − 3 = − 2x + 4

Cambiamo tutti i segni e dividiamo entrambi i termini per 2, ottenendo:

4x − 3 = x − 2

Poniamo la c.c.:

x − 2 ≥ 0

x ≥ 2

Eleviamo entrambi i membri al quadrato, così che a sinistra la radice scompare, mentre a destra applichiamo la regola del quadrato del binomio:

( √ 4x − 3 )² = ( x − 2 )²

4x − 3 = x² − 4x + 4

Una volta eliminata la radice, possiamo spostare tutto al primo membro e ridurre i termini simili:

4x − 3 − x² + 4x − 4 = 0

− x² + 8x − 7 = 0

x² − 8x + 7 = 0

Possiamo applicare la formula risolutiva, oppure scomporre in fattori, applicando le regole del trinomio speciale; in entrambi i casi otteniamo le soluzioni:

x = 1   ∨   x = 7

La prima soluzione rispetta la c.e. ma non la c.c., quindi non è accettabile; la seconda soluzione al contrario rispetta entrambe le condizioni, quindi è accettabile.

L'equazione ha perciò come soluzione x = 7.


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