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Princìpi di equivalenza


Introduciamo la seguente relazione:

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno esattamente le stesse soluzioni (comprese eventuali ripetizioni).

Ogni equazione può esser trasformata in una equazione equivalente, per mezzo dell'applicazione di determinati principi.

1° principio di equivalenza delle equazioni

Addizionando o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione una stessa quantità o espressione algebrica, si ottiene una equazione equivalente a quella iniziale.

2° principio di equivalenza delle equazioni

Moltiplicando o dividendo ad entrambi i membri di una equazione per una stessa quantità o espressione algebrica diversa da zero, si ottiene una equazione equivalente a quella iniziale.


Esempio 3. Verifichiamo che l'equazione x + 3 = 5 − x è equivalente all'equazione 5x = x + 4.

Osserviamo innanzitutto che hanno entrambe come unica soluzione il numero 1; ma questo non ci convince al cento per cento, in quanto potrebbe esserci qualche soluzione che ci sia sfuggita.

Per avere la prova che sono equivalenti, applichiamo più volte i due principi di equivalenza, trasformare la prima equazione x + 3 = 5 − x nella seconda.

  • Considero l'equazione iniziale: x + 3 = 5 − x
  • Applico il II principio: moltiplico entrambi i membri per 2, ottenendo 2x + 6 = 10 − 2x
  • Applico il I principio: addiziono 3x ad entrambi i membri, ottenendo 5x + 6 = 10 + x
  • Applico il I principio: sottraggo 6 ad entrambi i membri, ottenendo 5x = 4 + x
  • Ho ottenuto l'equazione desiderata.

Conclusione. Le due equazione effettivamente sono equivalenti.

Una conseguenza del primo principio è la seguente regola:

Regola del trasporto

In una equazione è possibile trasportare da un membro all'altro una qualunque quantità, se parte di una somma algebrica, cambiandone il segno, ottenedo un'equazione equivalente a quella data.

La regola del trasporto è una scorciatoia che ci permette di applicare in modo più il primo principio.

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Risoluzione di una equazione di 1° grado


Una equazione polinomiale di primo grado determinata possiede un'unica soluzione. In tal caso l'equazione è ridotta in forma elementare se il primo membro è formato dalla sola incognita e nient'altro, e se il secondo membro è costituito dalla soluzione.

La risoluzione di una equazione è il procedimento per cui, applicando più volte i due principi di equivalenza si possa stabilire se l'equazione è determinata, indeterminata o impossibile:

  • è determinata se si arriva a scrivere un'equazione elementare, equivalente a quella data;
  • è indeterminata se si arriva a scrivere un'uguaglianza valida, in cui non compare più l'incognita
  • è impossibile se si arriva a scrivere un'uguaglianza errata, in cui non compare più l'incognita.

La verifica di una equazione determinata consiste nel sostituire all'incognita il valore della soluzione trovata e, svolgendo eventuali passaggi, mostrare che l'equazione sia diventata una identità.

Esempio 4. Consiederiamo l'equazione:

8x − 6 + 5 = 3(x + 4) + 2

Stabiliamo se sia determinata, indeterminata o impossibile, applicando i principi di equivalenza e la regola del trasporto, ed eventualmente trovare la soluzione.

Prima di tutto svolgiamo i calcoli nelle espressioni presenti nei due membri:

8x − 1 = 3x + 12 + 2

8x − 1 = 3x + 14

A questo punto, applicando la regola del trasporto, portiamo il (‐ 1) al secondo membro, trasformandolo il (+1):

8x = 3x + 14 + 1

8x = 3x + 15

Applicando nuovamente la regola del trasporto, portiamo il (3x) al primo membro, trasformandolo il (−3x):

8x − 3x = 15

5x = 15

Infine, applicando il secondo principio, dividiamo per 5 entrambi i membri:

5x / 5 = 15 / 5

x = 3

Abbiamo ottenuto un'equazione elementare!

Conclusione. L'equazione iniziale è determinata e la sua soluzione è il numero 3.

Osservazione. Se vogliamo verificare la soluzione trovata, è sufficiente sostituire il 3 al posto della x, svolgere i calcoli e osservare che in entrambi i membri viene lo stesso risultato:

8(3) − 6 + 5 = 3(3 + 4) + 2

24 − 6 + 5 = 3(7) + 2

18 + 5 = 21 + 2

23 = 23

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