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Introduzione - I grado - II grado - Grado qualunque - Fratte - Moduli - Irrazionali

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Definizioni e svolgimento


Ricordiamo che un'equazione può esser intera, oppure fratta.

Un'equazione è detta fratta se compare un'incognita al denominatore; nel caso non vi siano denominatori, o vi siano solo denominatori numerici, l'equazione è detta intera.

Un'equazione fratta in genere è caratterizzata dallo studio delle condizioni di esisteza (abbreviate c.e.); in generale:

Le condizioni di esistenza sono delle condizioni da porre parallelamente allo svolgimento dell'equazione, che indicano quali valori dell'incognita sono ammissibili e quali no, in base alle operazioni presenti.

Nel nostro caso le frazioni, in quanto divisioni, non possono avere al denominatore un'espressione che vale zero, in quanto non si può dividere per zero.
Dal momento che non si sa da subito che valore possiede l'incognita, è necessario studiare quali valori rendono nullo il denominatore della frazione. Se in un'equazione sono presenti più frazioni, occorre applicare più condizioni di esistenza.

La risoluzione di un'equazione fratta si svolge nel seguente modo:

  • si scompongono in fattori i denominatori presenti, al fine di semplificare le moltiplicazioni o di calcolare il m.c.m. nelle somme;
  • si pongono le condizioni di esistenza: ciascun fattore ottenuto nei vari denominatori deve esser diverso da zero;
  • si svolgono le operazioni tra le frazioni: prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni, rispettando evenutali parentesi;
  • una volta ottenuta un'unica frazione (o due frazioni, una in ogni membro) si applica il II principio di equivalenza, moltiplicando entrambi i membri per il denominatore comune;
  • si risolve l'equazione intera ottenuta;
  • si confrontano le eventuali soluzioni trovate con le condizioni di esistenza iniziali.

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Esempi


Vediamo alcuni esempi di equazioni fratte.

Esempio 10.

Consiederiamo l'equazione seguente:

x + 4
———
2x + 2
x + 3
———
3x
= 2x − 3
———
x² + x

Scomponiamo in fattori i denominatori presenti; osserviamo che il secondo denominatore è un monomio, quindi è già a posto.

x + 4
———
2(x + 1)
x + 3
———
3x
= 2x − 3
———
x(x + 1)

Poniamo le c.e.: ogni denominatore deve esser diverso da zero; studiamo quindi i fattori ottenuti (senza ripere quelli uguali).

  • 2 ≠ 0   ⇒   sempre verificata
  • x + 1 ≠ 0   ⇒   se x ≠ −1
  • 3 ≠ 0   ⇒   sempre verificata
  • x ≠ 0   ⇒   se x ≠ 0

Dunque questa equazione può ammettere come soluzioni ogni valore ad eccezione di 0 e −1.

Il m.c.m. tra i denominati è 6x(x + 1); svolgiamo la sottrazione tra le prime due frazioni, portando anche la terza (rimasta a destra) allo stesso denominatore.

(3x)(x+4) − 2(x+1)(x+3)
——————————
6x(x + 1)
= 6(2x − 3)
————
6x(x + 1)

Moltiplichiamo ora, a sinistra e a destra, per il denominatore comune, in modo tale da eliminare i denominatori presenti.

(3x)(x + 4) − 2(x + 1)(x + 3) = 6(2x − 3)

Svolgiamo i calcoli e spostiamo tutti i termini al primo membro (essendo diventata un'equazione di II grado). L'equazione diventa:

x² − 8x + 12 = 0

Le soluzioni sono:

x1 = 2

x2 = 6

Dal momento che i numeri ottenuti rispettano le c.e., entrambe le soluzioni di questa equazione sono accettabili.


Esempio 11.

Consiederiamo l'equazione seguente:



x − 1
———
x + 2
+ 2x + 1
———
x


x + 1
—————
x² + 5x + 6
  =   0

Iniziamo svolgendo i calcoli all'interno della parentesi tonda: i denominatori sono già scomposti in fattori, perciò possiamo calcolare il m.c.m. tra i denominatori e unificare le due frazioni, svolgendo i calcoli al numeratore; per quanto riguarda la frazione fuori dalle parentesi, il suo denominatore deve esser scomposto in fattori.

2 x² + 4x + 2
—————
x(x + 2)
x + 1
—————
(x + 2)(x + 3)
  =   0

Poniamo le c.e.: ogni denominatore deve esser diverso da zero; studiamo quindi i fattori ottenuti (senza ripere quelli uguali).

  • x ≠ 0   ⇒   se x ≠ 0
  • x + 2 ≠ 0   ⇒   se x ≠ −2
  • x + 3 ≠ 0   ⇒   se x ≠ −3

Svolgiamo i calcoli al numeratore della prima frazione, e contemporaneamente rigiriamo la seconda frazione, trasformando la divisione in una moltiplicazione.

2 x² + 4x + 2
—————
x(x + 2)
· (x + 2)(x + 3)
—————
x + 1
  =   0

2 x² + 4x + 2
—————
x(x + 2)
· (x + 2)(x + 3)
—————
x + 1
  =   0

Essendo comparso un nuovo fattore al denominatore, dobbiamo porre una nuova c.e.

  • x + 1 ≠ 0   ⇒   se x ≠ −1

Dal momento che dobbiamo ora svolgere una moltiplicazione tra due frazioni, scomponiamo il numeratore della prima frazione in fattori, in modo da poter semplificare eventuali fattori in comune tra sopra e sotto (gli altri numeratori e denominatori sono già scomposti in fattori).

2 (x + 1)²
—————
x(x + 2)
· (x + 2)(x + 3)
—————
x + 1
  =   0

Dopo aver semplificato in croce i fattori in comune, svolgiamo la moltiplicazione.

2 (x + 1)(x + 3)
———————
x
  =   0

Moltiplicando a sinistra e a destra per x, otteniamo:

2 (x + 1)(x + 3) = 0

Che ha come soluzioni:

x1 = − 1

x2 = − 3

Dal momento che nessuno dei numeri ottenuti rispetta le c.e., entrambe le soluzioni di questa equazione non sono accettabili.

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