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La Geometria Analitica


La Geometria Analitica fa parte dell'analisi matematica, studia il piano cartesiano e le possibili relazioni tra equazioni algebriche e figure geometriche come punti, rette, poligoni o curve coniche.


« La matematica è l'alfabeto con il quale Dio ha scritto il mondo »

Pitagora


Il piano cartesiano


Il piano cartesiano è un piano con un sistema di riferimento ortonormale Oxy (vedi figura 1): due rette perpendicolari una orizzontale e una verticale, si incontrano nel punto O; le rette sono orientate (hanno un verso di percorrenza), graduate, e l'unità di misura fissata in una retta è uguale all'unità di misura fissata nell'altra retta.

La retta orizzontale è chiamata asse delle ascisse (o asse x), la retta verticale asse delle ordinate (o asse y).
Ognuna di queste rette rappresenta l'insieme dei numeri reali e il punto O, chiamato origine degli assi, indica lo zero in ciascuna retta.

I punti nel piano cartesiano


Ogni punto del piano è individuato da una coppia di numeri reali chiamate coordinate del punto, racchiuse in parentesi tonde: (x; y)

  • la x, detta ascissa del punto, rappresenta la distanza (euclidea) del punto dall'asse delle ordinate: è positiva a destra dell'asse, negativa a sinistra;
  • la y, detta ordinata del punto, rappresenta la distanza del punto dall'asse delle ascisse: è positiva al di sopra l'asse, negativa al di sotto.
il piano cartesiano
Figura 1

Come si può vedere dalla figura 1, il punto O ha coordinate (0; 0) ed è l'origine degli assi; nella figura sono presenti altri esempi di punti:
il punto A, di coordinate (+2; +1)
il punto B, di coordinate (−3; +4)
il punto C, di coordinate (−1; −3)

Le 4 zone in cui viene diviso il piano sono chiamati quadranti:

  1. il primo quadrante è quello in alto a destra; i punti hanno coordinate positive;
  2. il secondo quadrante è in alto a sinistra; i punti hanno ascissa negativa, ordinata positiva;
  3. il terzo quadrante è in basso a sinistra; i punti hanno coordinate negative;
  4. il quarto quadrante è in basso a destra; i punti hanno ascissa positiva e ordinata negativa.

Ricordiamo che in matematica e in fisica, il verso di rotazione standard è quello anti-orario, per cui fissato il primo quadrante, gli altri si contano seguendo questo verso.
Nell'esempio in figura, il punto A si trova nel primo quadrante, il punto B nel secondo e il punto C nel terzo.


« La matematica non si capisce,
alla matematica ci si abitua »

John von Neumann


Formule per i punti


♦   Distanza tra due punti A e B che hanno uguale ascissa:

AB = | yB − yA |

♦   Distanza tra due punti A e B che hanno uguale ordinata:

AB = | xB − xA |

♦   Distanza tra due punti A e B in generale:

AB = √(xB − xA)² + (yB − yA

♦   Punto medio M, tra due punti A e B:

xM = (xA + xB) ⁄ 2

yM = (yA + yB) ⁄ 2

♦   Punto estremo B, sapendo il punto medio M e l'altro estremo A:
(B è il simmetrico di A, rispetto a M)

xB = 2xM − xA

yB = 2yM − yA

Sotto-sezioni di Geometria Analitica


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