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I punti - Le rette - Proprietà pricipali - Fasci di rette

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I punti nel piano cartesiano


Ogni punto del piano è individuato da una coppia di numeri reali chiamate coordinate del punto, separate da un punto e virgola (o da una virgola) e racchiuse in parentesi tonde:

( x ; y )

Tali coordinate hanno un nome e un ruolo ben preciso:

La x è chiamata ascissa del punto, e rappresenta la distanza (con segno) del punto dall'asse delle ordinate.

la y è chiamata ordinata del punto, e rappresenta la distanza (con segno) del punto dall'asse delle ascisse.

Per indicare le coordinate di un determinato punto, ad esempio P, si aggiunge una piccola lettera dopo le coordinate:

P = ( xP ; yP )

Ecco alcune proprietà iniziali delle coordinate:

  • i punti a destra dell'asse y hanno ascissa positiva; quelli a sinistra hanno ascissa negativa; infine l'ascissa dei punti situati sull'asse y vale zero;
  • i punti al di sopra delll'asse x hanno ordinata positiva; quelli al di sotto hanno ordinata negativa; infine l'ordinata dei punti situati sull'asse x vale zero;
  • i punti nel primo quadrante hanno coordinate positive;
  • i punti nel secondo quadrante hanno ascissa negativa, ordinata positiva;
  • i punti nel terzo quadrante hanno coordinate negative;
  • i punti nel quarto quadrante hanno ascissa positiva e ordinata negativa.

Esempio 1. Determiniamo le coordinate dei punti in figura 1.

il piano cartesiano
Figura 1

Le coordinate di un punto dipendono solamente dalla sua posizione, rispetto agli assi cartesiani. Come si può vedere dalla figura 1, il punto O ha coordinate (0; 0) ed è l'origine degli assi; nella figura sono presenti altri esempi di punti:

  • il punto A, di coordinate (+2; +1), si trova nel primo quadrante;
  • il punto B, di coordinate (−3; +4), si trova nel secondo quadrante;
  • il punto C, di coordinate (−1; −3), si trova nel terzo quadrante.


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John von Neumann


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Formule per i punti


Di seguito sono riportate le più comuni formule che coinvolgono i punti nel piano cartesiano.

♦   Distanza tra due punti A e B che hanno uguale ascissa:

AB = | yB − yA |

♦   Distanza tra due punti A e B che hanno uguale ordinata:

AB = | xB − xA |

♦   Distanza tra due punti A e B (caso generale):

AB = √(xB − xA)² + (yB − yA

♦   Punto medio M, tra due punti A e B:

xM   =  
xA + xB
2
yM   =  
yA + yB
2

♦   Punto estremo B, sapendo il punto medio M e l'altro estremo A:
(B è il simmetrico di A, rispetto a M)

xB = 2xM − xA

yB = 2yM − yA

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