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Introduzione - Isometrie - Omotetie e Similitudini - Affinità generiche

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Le trasformazioni nel piano


Una trasformazione nel piano è una ridistribuzione dei punti del piano, con un criterio preciso. Possiamo anche considerare una trasformazione come una corrispondenza tra coppie di punti del piano.

Le trasformazioni che si studiano in matematica seguono regole precise: le trasformazione dei punti in un piano cartesiano sono descritte da funzioni che modificano le coordinate dei punti.
Per esser più precisi: un punto del piano P (x, y) è trasformato in un nuovo punto P' (x', y'), e la trasformazione è espressa con il sistema:

x' = f (x, y)

y' = g (x, y)

dove f e g sono due espressioni (in genere polinomi) nelle variabili x e y.

Una trasformazione matematica del piano è quindi qualcosa che modifica la forma, la posizione o la dimensione di una figura.

In natura un esempio molto comune è l'ombra proiettata da una figura: l'ombra di una figura generalmente ha una forma e una dimensione diversa da qualla originale, tuttavia ci sono elementi che ci aiutano a capire quale potesse essere la figura originale.

In questa sezione vengono descritte le principali trasformazioni studiante nelle superiori:

Le trasformazioni nel piano
Figura 1
  • le isometrie - trasformazioni rigide che modificano solo la posizione nel piano;
  • le omotetie - trasformazione che ingrandiscono o rimpiccioliscono le figure;
  • le similitudini - che trasformano dimensioni e posizioni, ma non la forma della figura;
  • le affinità - trasformazioni generiche che deformano e spostano le figure, lasciando invariato il parallelismo.

Oltre a queste trasformazioni ne esistono altre più complesse, come ad esempio le inversioni, che scambiano i punti interni ad una determinata circonferenza con i punti esterni, le proiezioni (sul piano o su una retta), utilizzate soprattutto in geometria, che trasformano i punti di una figura nella loro "ombra", o infine le trasformazioni nel piano complesso.

Osservazione: un cambiamento delle coordinate dei punti nel piano cartesiano comporta un cambiamento anche delle equazioni di rette e curve, che dovranno esser soddisfatte da punti diversi da quelli iniziali; di conseguenza in tali equazioni, per bilanciare la trasformazione effettuata, devono subire un cambiamento "al contrario", cioè invertendo le funzioni di tale trasformazione: ad esempio uno cambiamento delle x di 2 unità verso destra (x' = x + 2), corrispondere ad un cambiamento in un'equazione di questo tipo:

x = x' − 2

Avendo spostato i punti di una figure, le equazioni si devono quindi "adattare" alle nuove condizioni.

Esempio 1. Consideriamo la la parabola y = x².

Applichiamo una trasformazione che aumenta le ascisse dei punti di 3 e diminuisce le ordinate di 5:

x' = x + 3
y' = y − 5

Anche i punti della parabola cambieranno le proprie coordinate, per cui l'equazione iniziale non è piuè valida, ma deve essere modificata:

y + 5 = (x − 3)²

...è solo questione di punti di vista!


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