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Introduzione - Isometrie - Omotetie e Similitudini - Affinità generiche

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Le isometrie


Le isometrie (iso = uguale + metron = misura) sono trasformazioni "rigide", ossia non cambiano le misure (forma e dimensione) delle figure geometriche del piano: l'unico effetto è lo spostamento, ossia il cambiamento di posizione rispetto agli assi cartesiani.
Una isometria può invertire o conservare l'ordine dei punti di una figura (ad esempio l'ordine dei vertici di un poligono): nel primo caso si parla di isometria invertente, nel secondo di isometria non invertente.
Tutte le trasformazioni isometriche si possono scomporre in una successione di 3 isometrie di base: le traslazioni, le rotazioni e le simmetrie.

1. Le traslazioni

Una traslazione di un vettore v (α, β) è un'isometria non invertente, che trasforma un generico punto P = (x, y) del piano nel punto P' = (x+α, y+β).

Una traslazione è quindi uno spostamento uniforme dei punti e delle figure rispetto agli assi cartesiani, in quanto tutti i punti del piano si spostano nella stessa direzione e nello stesso verso, e di una stessa distanza (in maniera analoga è come se gli assi cartesiani si spostassero in orizzontale o in verticale, ma in verso opposto).

Se P = (x, y) e P' = (x', y'), allora la legge di trasformazione è:

x' = x + α

y' = y − β

Dove α e β sono due numeri reali, che rappresentano i valori degli spostamenti orizzontali e verticali; se α = β = 0, si ottiene la trasformazione identica, o identità che non compie nessuna modifica.

Esempio 2. Studiamo la trasformazione data dal seguente sistema:

x' = x + 11

y' = y + 5

Svolgimento. Questa traslazione sposta i punti del piano di 5 unità in alto e 11 a destra.

Le traslazioni
Figura 2

Ad esempio in figura 2 i punti A, B, C, D che sono i vertici del trapezio verde, sono stati spostati nei punti A', B', C', D', che formano il trapezio azzurro; di conseguenza possiamo vedere che tutti i punti, anche quelli interni al trapezio verde, sono stati spostati nella stessa direzione, per finire nel trapezio azzurro.

Per esempio il punto D (−5, 1) viene spostato nel punto D' (6, 6), infatti:

  • Per la x:   6 = −5 + 11
  • Per la y:   6 = 1 + 5

L'effetto finale di questa traslazione è stato il cambiamento di posizione del trapezio: l'asse x e l'asse y, che prima attraversavano la figura, ora non lo toccano.
Osserviamo che dal punto di vista del trapezio c'è stato uno spostamento inverso: l'origine degli assi si è spostata di 11 a sinistra e di 5 in basso!

Una traslazione può esser applicata anche ad un luogo geometrico, modificando la sua equazione; essendo una trasformazione rigida, non ne modifica la forma, né le dimensioni, né l'orientamento rispetto agli assi, ma solo la posizione: di conseguenza le proprietà caratteristiche restano invariate; anche i coefficienti che sono legati alla forma o alle dimensioni rimangono invariati.
In generale, dal momento che tutti i punti vengono spostati secondo uno stesso vettore, è sufficiente sapere come viene spostato un punto qualunque del luogo.

Come avviene la traslazione di un luogo? Applicando al contrario il vettore traslazione all'interno dell'equazione:

x   →   x − α

y   →   y − β

Questo perché la traslazione sposta i punti del luogo (non il luogo in sé) e l'equazione quindi deve esser ri-tarata sulle nuove coordinate.
Per comodità, ogni luogo può esser visto come una traslazione partendo da una situazione particolare, in cui viene conservata qualche proprietà, ad esempio:

  • Ogni retta traslata conserva la direzione, quindi il coefficiente angolare è invariante: possiamo partire quindi da una generica retta passante per l'origine, di coefficiente angolare noto.

    y = m x   →   y − β = m (x − α)

    Osserviamo che ciò che otteniamo non è altro che la formula della retta passante per un punto.
  • Ogni circonferenza traslata conserva forma e dimensioni, quindi il raggio è invariante: possiamo quindi partire da una circonferenza di centro l'origine e raggio noto.

    x² + y² = R²   →   (x − α)² + (y − β)² = R²

    Osserviamo che abbiamo ottenuto l'equazione di una generica circonferenza, dati centro e raggio.
  • Ogni parabola traslata conserva forma e dimensioni, quindi la curvatura invariante: possiamo quindi partire da una parabola di vertice nell'origine e coefficiente a noto.

    y = a x²   →   y − β = (x − α)²

    Ponendo al posto di α e β le formule delle coordinate generiche del vertice e svolgendo i calcoli, si ottiene l'equazione canonica di una parabola.

Ovviamente questa regola vale anche in generale: possiamo spostare ogni luogo, applicando queste sostituzioni alla sua equazione, qualunque essa sia.

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2. Le Rotazioni

Una rotazione di un angolo ω è un'isometria non invertente, che trasforma un generico punto P del piano nel punto P' tale che OP = OP' e che l'angolo POP' sia ω.

In altre parole, una rotazione è uno spostamento rigido del piano, in cui tutti i punti del piano mantengono fissa la distanza dall'origine degli assi. Se P = (x, y) e P' = (x', y'), allora la legge di trasformazione è:

x' = x cos (ω) − y sen (ω)

y' = x sen (ω) + y cos (ω)

Dove ω, l'angolo di rotazione, è misurato in senso anti-orario se è positivo e in senso orario se è negativo; le funzioni sen e cos sono le funzioni goniometriche dell'angolo ω; se ω = 0 o ad un multiplo intero di 2π (in formule, se ω = 2kπ per k intero) si ottiene l'identità.

Esempio 3. Studiamo la rotazione di 90° intorno all'origine, in verso anti-orario.

Svolgimento. L'angolo di 90° corrisponde a π ⁄ 2 radianti, e le sue funzioni goniometriche valgono:

sen (π ⁄ 2) = 1   e   cos (π ⁄ 2) = 0

Applicando questi valori nelle formule della rotazione, otteniamo il sistema:

⎧ x' = −y

⎩ y' = x

Le traslazioni
Figura 3

Nella figura 3 è disegnato l'effetto che tale trasformazione ha sul trapezio verde: viene spostato nella posizione del trapezio azzurro.
Il punto A (2, 1) viene spostato nel punto A' (−1, 2), come è facile verificare sostituendo i valori nelle relazioni.

L'effetto finale di questa rotazione è stata la rotazione del trapezio intorno all'origine: in questo caso la figura, che prima era nel primo quadrante, ora si trova nel secondo.
Anche qui possiamo osservare che dal punto di vista del trapezio c'è stata una rotazione inversa: gli assi cartesiani sono ruotati di 90° in senso orario intorno all'origine.

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3. Le Simmetrie

Una simmetria nel piano cartesiano può essere assiale, ossia rispetto ad una retta, oppure centrale, ossia rispetto ad un punto.

Una simmetria assiale ripetto ad una retta r è un'isometria invertente, che trasforma un generico punto P del piano esterno ad r, nel punto P' (diverso da P) avente la stessa distanza e la stessa proiezione di P su r.

La simmetria assiale è quindi un'isometria che scambia tra loro tutte le coppie di punti che si trovano sulla stessa perpendicolare alla retta e ad uguale distanza da essa.
Nella tabella seguente sono riportate le leggi di trasformazione rispetto a rette semplici, molto utilizzate nei problemi (tra parentesi sono riportate le equazioni), dove (x, y) sono le coordinate di un generico punto iniziale e (x', y') le coordinate del corrispondente punto trasformato.

asse x (y = 0)

  x' = x

  y' = −y

asse y (x = 0)

  x' = −x

  y' = y

retta orizzontale (y = q)

  x' = x

  y' = 2q − y

retta verticale (x = p)

  x' = 2p − x

  y' = y

I bisettrice (y = x)

  x' = y

  y' = x

II bisettrice (y = −x)

  x' = −y

  y' = −x

Infine, per quanto riguarda la simmetria rispetto ad una retta generica di equazione y = mx + q, valgono le seguenti trasformazioni:

x'   =  
(1 − m²)x + 2my − 2mq
m² + 1
y'   =  
2mx − (1 − m²)y + 2q
m² + 1

Una simmetria centrale ripetto ad un punto C è un'isometria non invertente, che trasforma un generico punto P del piano diverso da C, nel punto P' (diverso da P) allineato con C e P e tale che CP = CP'.

Se consideriamo FP e FP' come segmenti orientati, è sufficiente dire che CP = −CP'.
La formula utilizzata non è altro che quella per calcolare il punto medio di un segmento, invertita: dato un punto C (xₒ, yₒ) come centro di simmetria, esso infatti è il punto medio di tutti i segmenti tra punti corrispondenti, e la simmetria rispetto a C è data da:

x' = 2xₒ − x

y' = 2yₒ − y

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Isometrie composte


Ogni isometria generica è l'effetto combinato di una o più di 3 queste isometrie; in particolare:

  • ogni isometria non invertente è scomponibile in 1 traslazione + 1 rotazione, oppure in 2 simmetrie assiali;
  • ogni isometria invertente è scomponibile in 1 traslazione + 1 simmetria assiale, oppure in 3 simmetrie assiali;
  • la successione di 2 isometria invertenti corrisponde ad un'isometria non invertente;
  • la successione di 2 isometria non invertenti corrisponde ancora ad un'isometria non invertente;

Da queste proprietà deriva il fatto che comunemente le isometrie invertenti sono anche dette glisso-riflessioni (o antitraslazioni), metre quelle non invertenti roto-traslazioni.

glisso-riflessione:

x' = x cos(ω) + y sen(ω) + α

y' = x sen(ω) − ycos (ω) + β

roto-traslazione:

x' = x cos(ω) − y sen(ω) + α

y' = x sen(ω) + y cos(ω) + β

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