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Introduzione - Isometrie - Omotetie e Similitudini - Affinità generiche

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Le isometrie


Le isometrie (iso = uguale + metron = misura) sono trasformazioni "rigide", ossia non cambiano le misure (forma e dimensione) delle figure geometriche del piano: l'unico effetto è lo spostamento, ossia il cambiamento di posizione rispetto agli assi cartesiani.
Una isometria può invertire o conservare l'ordine dei punti di una figura (ad esempio l'ordine dei vertici di un poligono): nel primo caso si parla di isometria invertente, nel secondo di isometria non invertente.
Tutte le trasformazioni isometriche si possono scomporre in una successione di 3 isometrie di base: le traslazioni, le rotazioni e le simmetrie.

1. Le traslazioni

Una traslazione di un vettore v (α, β) è un'isometria non invertente, che trasforma un generico punto P = (x, y) del piano nel punto P' = (x+α, y+β).

Una traslazione è quindi uno spostamento uniforme delle figure rispetto agli assi cartesiani, in quanto tutti i punti del piano si spostano nella stessa direzione. In maniera analoga è come se gli assi cartesiani si spostassero in orizzontale o in verticale.

Se P = (x, y) e P' = (x', y'), allora la legge di trasformazione è:

x' = x + α

y' = y + β

Dove α e β sono due numeri reali, che rappresentano i valori degli spostamenti orizzontali e verticali; se α = β = 0, si ottiene la trasformazione identica, o identità che non compie nessuna modifica.

Esempio 2. Consideriamo la traslazione che sposta i punti del piano di 5 unità in alto e 11 a destra.

x' = x + 11

y' = y + 5

Le traslazioni
Figura 2

Ad esempio in figura 2 è disegnato l'effetto che tale trasformazione ha sul trapezio verde: viene spostato nella posizione del trapezio azzurro.

Il punto A (−5, 1) viene spostato nel punto A' (6, 6), infatti:

6 = −5 + 11

6 = 1 + 5

L'effetto finale di questa traslazione è stato il cambiamento di posizione del trapezio: l'asse x e l'asse y, che prima attraversavano la figura, ora non lo toccano.
Osserviamo che dal punto di vista del trapezio c'è stato uno spostamento inverso: l'origine degli assi si è spostata di 11 a sinistra e di 5 in basso!

2. Le Rotazioni

Una rotazione di un angolo ω è un'isometria non invertente, che trasforma un generico punto P del piano nel punto P' tale che OP = OP' e che l'angolo POP' sia ω.

In altre parole, una rotazione è uno spostamento rigido del piano, in cui tutti i punti del piano mantengono fissa la distanza dall'origine degli assi. Se P = (x, y) e P' = (x', y'), allora la legge di trasformazione è:

x' = x cos (ω) − y sen (ω)

y' = x sen (ω) + y cos (ω)

Dove ω, l'angolo di rotazione, è misurato in senso anti-orario se è positivo e in senso orario se è negativo; le funzioni sen e cos sono le funzioni goniometriche dell'angolo ω; se ω = 0 o ad un multiplo intero di 2π (in formule, se ω = 2kπ per k intero) si ottiene l'identità.

Esempio 3. Consideriamo la rotazione di 90° intorno all'origine.
L'angolo 90° corrisponde a π ⁄ 2 radianti, e le sue funzioni goniometriche valgono:
sen (π ⁄ 2) = 1 e cos (π ⁄ 2) = 0
Quindi le funzioni di rotazione sono:

x' = −y

y' = x

Le traslazioni
Figura 3

Nella figura 3 è disegnato l'effetto che tale trasformazione ha sul trapezio verde: viene spostato nella posizione del trapezio azzurro.
Il punto A (2, 1) viene spostato nel punto A' (−1, 2), come è facile verificare sostituendo i valori nelle relazioni.

L'effetto finale di questa rotazione è stata la rotazione del trapezio intorno all'origine: in questo caso la figura, che prima era nel primo quadrante, ora si trova nel secondo.
Anche qui possiamo osservare che dal punto di vista del trapezio c'è stata una rotazione inversa: gli assi cartesiani sono ruotati di 90° in senso orario intorno all'origine.

3. Le Simmetrie

Una simmetria nel piano cartesiano può essere assiale, ossia rispetto ad una retta, oppure centrale, ossia rispetto ad un punto.

Una simmetria assiale ripetto ad una retta r è un'isometria invertente, che trasforma un generico punto P del piano esterno ad r, nel punto P' (diverso da P) avente la stessa distanza e la stessa proiezione di P su r.

La simmetria assiale è quindi un'isometria che scambia tra loro tutte le coppie di punti che si trovano sulla stessa perpendicolare alla retta e ad uguale distanza da essa.
Nella tabella seguente sono riportate le leggi di trasformazione rispetto a rette semplici, molto utilizzate nei problemi (tra parentesi sono riportate le equazioni), dove (x, y) sono le coordinate di un generico punto iniziale e (x', y') le coordinate del corrispondente punto trasformato.

asse x (y = 0)

  x' = x

  y' = −y

asse y (x = 0)

  x' = −x

  y' = y

retta orizzontale (y = q)

  x' = x

  y' = 2q − y

retta verticale (x = p)

  x' = 2p − x

  y' = y

I bisettrice (y = x)

  x' = y

  y' = x

II bisettrice (y = −x)

  x' = −y

  y' = −x

retta generica (y = mx + q)

  x' = λ (1 − m²)x + 2λmy − 2λmq

  y' = 2λmx − λ (1 − m²)y + 2λq

essendo:
m, p, q numeri qualunque
λ = 1 ⁄ (m² + 1)


Una simmetria centrale ripetto ad un punto C è un'isometria non invertente, che trasforma un generico punto P del piano diverso da C, nel punto P' (diverso da P) allineato con C e P e tale che CP = CP'.

Se consideriamo FP e FP' come segmenti orientati, è sufficiente dire che CP = −CP'.
La formula utilizzata non è altro che quella per calcolare il punto medio di un segmento, invertita: dato un punto C (xₒ, yₒ) come centro di simmetria, esso infatti è il punto medio di tutti i segmenti tra punti corrispondenti, e la simmetria rispetto a C è data da:

x' = 2xₒ − x

y' = 2yₒ − y

Isometrie composte


Ogni isometria generica è l'effetto combinato di una o più di 3 queste isometrie; in particolare:

  • ogni isometria non invertente è scomponibile in 1 traslazione + 1 rotazione, oppure in 2 simmetrie assiali;
  • ogni isometria invertente è scomponibile in 1 traslazione + 1 simmetria assiale, oppure in 3 simmetrie assiali;
  • la successione di 2 isometria invertenti corrisponde ad un'isometria non invertente;
  • la successione di 2 isometria non invertenti corrisponde ancora ad un'isometria non invertente;

Da queste proprietà deriva il fatto che comunemente le isometrie invertenti sono anche dette glisso-riflessioni, metre quelle non invertenti roto-traslazioni.

roto-traslazione:

x' = x cos (ω) − y sen (ω) + α

y' = x sen (ω) + y cos (ω) + β

glisso-riflessione:

x' = x cos (ω) + y sen (ω) + α

y' = x sen (ω) − y cos (ω) + β


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