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Definizioni geometriche


Un cono è una superficie di rotazione ottenuta fecendo ruotare nello spazio una retta r intorno ad un asse incidente con r.
Il punto d'intersezione è detto vertice del cono e ogni retta ottenuta dalla rotazione è detta generatrice del cono.

Una sezione conica, o più semplicemente una conica, è una curva piana ottenuta dall'intersezione di un piano con un cono.

Da qui appunto il nome "conica"; dalla diversa inclinazione del piano si ottengono curve diverse.

Se l'intersezione tra il cono e il piano è degenere (ossia banale) si possono ottenere:

  • un punto (piano passante solo per il vertice del cono)
  • una retta (piano contenente una sola generatrice del cono, quindi tangente al cono)
  • due rette incidenti (piano contenente due generatrici distine del cono)

In tutti gli altri casi l'intersezione tra il cono e il piano è una curva vera e propria; supponiamo che il cono abbia asse verticale (una posizione piuttosto comune), allora le curve che si ottengono possono esser classificate in 4 casi, a seconda dell'inclinazione del piano:

Una conica può essere introdotta anche in un altro modo, ossia come luogo geometrico del piano:

Una conica è il luogo geometrico dei punti P per i quali, dati una retta d e un punto F esterno ad essa, è costante il rapporto tra le distanze di P da F e di P da d.

Il punto F è detto fuoco, la retta d direttrice, e il rapporto costante e viene chiamato eccentricità.

Nella sezione Download potete trovare alcuni file per costruire una conica con programmi di geometria dinamica.

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Classificazione analitica


Nel piano cartesiano una conica è rappresentata da un'equazione di secondo grado in x e y:

𝒞 :   Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Dove al variare dei coefficienti A, B, C, D, E, F in R si ottengono le diverse coniche. Ovviamente conviene supporre che A, B e C non siano contemporaneamente nulli, altrimenti la conica degenera in una retta o in un punto.
L'insieme dei punti che appartengono alla conica è costituito da tutti e soli i punti le cui coodinate verificano questa equazione.

Riprendendo la classificazione precedente, le diverse coniche (non degeneri) si distinguono a seconda del valore della loro eccentricità, in questo modo:

coniche
Figura 1

Nella figura 1 è mostrata un'animazione che raffigura come variando l'eccentricità si ottengano coniche diverse.

Possiamo considerare un'equazione in cui non compaiano coefficienti generici, ma quelli della direttrice, del fuoco e dell'eccentricità: tale equazione si ottiene imponendo la definizione, ossia il luogo dei punti per cui il rapporto tra le distante punto-fuoco e punto-direttrice sia uguale all'eccentricità.
Una conica avente direttrice d: ax + by + c = 0, fuoco F: (α, β) ed eccentricità e ≥ 0, è rappresentata dalla seguente equazione di secondo grado in x e y:

𝒞 :   (a² + b²)·[ (x − α)² + (y − β)² ] = e²·(ax + by + c)²

Svolgendo i calcoli, possiamo scrivere questa equazione in forma canonica, in cui:

  • A = a² (1 − e²) + b²
  • B = a² + b² (1 − e²)
  • C = 2ab e²
  • D = −2 [α (a² + b²) + ac e²]
  • E = −2 [β (a² + b²) + bc e²]
  • F = (a² + b²)(α² + β²) − c² e²

Osservazione: La circonferenza è un caso limite di ellisse, e si ottiene nel caso in cui l'eccentricità vale 0; questo si verifica se la distanza dal fuoco è nulla (si ottiene un punto) o se la distanza dalla direttrice è infinita (una normale circonferenza); di conseguenza per descrivere una circonferenza non si può utilizzare tale equazione, ma si dovrà tornare all'equazione generale.

Nella pagina successiva è possibile interagire con una animazione di una conica: clicca qui.

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