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Definizioni geometriche


Un cono è una superficie di rotazione ottenuta fecendo ruotare nello spazio una retta r intorno ad un asse incidente con r.
Il punto d'intersezione è detto vertice del cono e ogni retta ottenuta dalla rotazione è detta generatrice del cono.

Una sezione conica, o più semplicemente una conica, è una curva piana ottenuta dall'intersezione di un piano con un cono.

Da qui appunto il nome "conica"; dalla diversa inclinazione del piano si ottengono curve diverse.

Se l'intersezione tra il cono e il piano è degenere (ossia banale) si possono ottenere:
- un punto (piano passante solo per il vertice del cono)
- una retta (piano contenente una sola generatrice del cono, quindi tangente al cono)
- due rette incidenti (piano contenente due generatrici distine del cono)

In tutti gli altri casi l'intersezione tra il cono e il piano è una curva vera e propria; supponiamo che il cono abbia asse verticale (una posizione piuttosto comune), allora le curve che si ottengono possono esser classificate in 4 casi, a seconda dell'inclinazione del piano:

Una conica può essere introdotta anche in un altro modo, ossia come luogo geometrico del piano:

Una conica è il luogo geometrico dei punti P per i quali, dati una retta d e un punto F esterno ad essa, è costante il rapporto tra le distanze di P da F e di P da d.

F è detto fuoco, d direttrice, e il rapporto costante e viene chiamato eccentricità.

Classificazione analitica


Nel piano cartesiano una conica è rappresentata da un'equazione di secondo grado in x e y:

𝒞 :   Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Dove al variare dei coefficienti A, B, C, D, E, F in R si ottengono le diverse coniche. Ovviamente conviene supporre che A, B e C non siano contemporaneamente nulli, altrimenti la conica degenera in una retta.
L'insieme dei punti che appartengono alla conica è costituito da tutti e soli i punti le cui coodinate verificano questa equazione.

Riprendendo la classificazione precedente, le diverse coniche (non degeneri) si distinguono a seconda del valore della loro eccentricità, in questo modo:

  • la circonferenza (avente e = 0)
  • l'ellisse (avente 0 < e < 1);
  • la parabola (avente e = 1);
  • l'iperbole (avente e > 1);
coniche
Figura 1

Nella figura 1 è mostrata un'animazione che raffigura come variando l'eccentricità si ottengano coniche diverse. Per visualizzare il file sorgente vai alla sezione download.

Possiamo considerare un'equazione in cui non compaiano coefficienti generici, ma quelli della direttrice, del fuoco e dell'eccentricità: tale equazione si ottiene imponendo la definizione, ossia il luogo dei punti per cui il rapporto tra le distante punto-fuoco e punto-direttrice sia uguale all'eccentricità.
Una conica avente direttrice d: ax + by + c = 0, fuoco F: (α, β) ed eccentricità e = k ≥ 0, è rappresentata dalla seguente equazione di secondo grado in x e y:

𝒞 :   (a² + b²)·[ (x − α)² + (y − β)² ] = k²·(ax + by + c)²

Osservazione: La circonferenza è un caso limite di ellisse, e si ottiene nel caso in cui l'eccentricità vale 0; questo si verifica se la distanza dal fuoco è nulla (si ottiene un punto) o se la distanza dalla direttrice è infinita (una normale circonferenza); di conseguenza per descrivere una circonferenza non si può utilizzare tale equazione, ma si dovrà tornare all'equazione generale.


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