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Equazione canonica - Proprietà principali - Iperboli particolari

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Definizione



Dati due punti F1 e F2 del piano, l'iperbole è il luogo di tutti i punti P del piano per cui è costante la differenza delle distanze da questi punti: PF1 − PF2.
I punti F1 e F2 sono detti fuochi dell'iperbole.

I punti F1 e F2 sono detti fuochi dell'iperbole.
La parabola è un caso molto particolare di iperbole, avente un fuoco a distanza infinita.

In genere i fuochi sono due qualunque punti del piano; nel caso in cui i fuochi siano sugli assi cartesiani, disposti simmetricamente rispetto all'origine, si parla di iperbole riferita agli assi cartesiani; l'equazione di una tale iperbole può esser calcolata facilmente.
Quindi in questa pagina considereremo solo un caso particolare di iperbole: quelle aventi i fuochi sull'asse delle x, simmetrici rispetto all'origine. Per quanto riguarda le iperboli aventi i fuochi sull'asse y, è sufficiente applicare la simmetria:

x' = y   e   y' = x

ai calcoli di seguito effettuati.

definizione di iperbole
Figura 1

Poniamo:   F1 = (−c, 0)   e   F2 = (c, 0)
con c reale positivo; il caso c = 0 lo possiamo anche accettare, ma l'iperbole degenera nell'unione di due rette per l'origine aventi coefficienti angolari opposti.
Supponiamo che la differenza costante delle distanze valga 2a, con 0 < a < c, e consideriamo un generico punto P = (x, y) dell'iperbole (vedi figura 1).

Applicando la definizione otteniamo la seguente equazione:

| PF1PF2 | = 2a

Svolgendo i calcoli:

(x + c)² + y² − √(x − c)² + y² = ±2a

(x + c)² + y² = ±2a + √(x − c)² + y²

(x + c)² + y² = 4a² + (x − c)² + y² ± 4a√(x − c)² + y²

4cx − 4a² = ± 4a√(x − c)² + y²

cx − a² = ±a√(x − c)² + y²

a4 + c²x² − 2a²cx = a²x² + a²c² − 2a²cx + a²y²

(a² − c²)x² + a²y² = a²(a² − c²)

essendo a < c, possiamo porre: c² − a² = b²
Sotto tali ipotesi l'equazione dell'iperbole si scrive nella forma:

−b²x² + a²y² = −a²b²

Dividendo ambo i membri per −a²b², otteniamo l'equazione canonica di un'iperbole con i fuochi sull'asse delle x e centro nell'origine:

ℐ :   x² ⁄ a² − y² ⁄ b² = 1

con a e b coefficienti reali positivi, diversi da zero. In maniera analoga si può ottenere l'equazione canonica di un'iperbole con i fuochi sull'asse delle y e centro nell'origine:

ℐ :   x² ⁄ a² − y² ⁄ b² = −1

Condizioni per determinare l'equazione di un'iperbole


L'equazione di un'iperbole simmetrica rispetto agli assi cartesiani può esser determinata partendo da alcune sue proprietà; osserviamo che, per ragioni di simmetria, conoscere un fuoco equivale a conoscerli entrambi; stesso ragionamento per le direttrici e i vertici.
Ecco alcuni esempi di condizioni sufficienti per determinare l'equazione di un'iperbole:

  1. si conosce un fuoco e una direttrice;
  2. si conosce un fuoco e la diffenrenza delle distanze dai punti dell'iperbole;
  3. si conosce un fuoco e un vertice;
  4. si conosce un fuoco e un punto dell'iperbole;
  5. si conosce l'eccentricità e un fuoco;
  6. si conosce l'eccentricità e un punto dell'iperbole;
  7. si conoscono 2 punti dell'iperbole non simmetrici rispetto all'origine o rispetto all'asse y;

L'iperbole come conica


Geometricamente l'iperbole è una sezione conica ottenuta intersecando la superficie di un cono circolare con un piano "molto inclinato".
Per la precisione, supponendo che l'asse del cono sia verticale, l'inclinazione del piano deve essere superiore all'inclinazione di una generatrice del cono.
Il fatto che l'iperbole abbia due rami dipende dal fatto che consideriamo un cono completo, ottenuto dalla rotazione di una retta intorno ad un asse non parallelo ad essa; di conseguenza il cono si estende sia sopra che sotto il vertice, e la sua intersezione con un piano genera due curve distinte.
Nel caso in cui il piano passa per il vertice l'iperbole degenera in due rette incidenti.

Ricordiamo che una conica può esser definita come luogo nel seguente modo:

Dati un punto F e una retta d, ed essendo H la proiezione di P su d, una conica è il luogo dei punti P del piano per i quali è costante il rapporto tra PF e PH.

F è detto fuoco, d è detta direttrice e il rapporto e = PF ⁄ PH è chiamato eccentricità; essendo un rapporto tra grandezze geometriche, l'eccentricità è un valore non negativo.

Nel caso in cui e > 1 la conica è una iperbole.

iperbole come conica
Figura 2

Fissiamo a e c con 0 < a < c, e poniamo:

  • F = (c, 0) il fuoco positivo dell'iperbole
  • d: x = a² ⁄ c
  • e = c ⁄ a > 1

Cerchiamo tutti e soli i punti P = (x, y) che verificano la definizione della conica. Sia H il punto di coordinate (a²/c, y) la proiezione di P su d (vedi figura 2), allora:

PF = √(x − c)² + y²

PH = | x − a² ⁄ c |

Quindi:

PF = PH · e

(x − c)² + y² = | x − a² ⁄ c | · (c ⁄ a)

a · √(x − c)² + y² = | cx − a² |

a² · (x² − 2cx + c² + y²) = c²x² − 2a²cx + a4

a²x² + a²c² + a² y² = c²x² + a4

(a² − c²)x² + a²y² = a²(a² − c²)

Osserviamo che i passaggi precedenti sono equivalenti per ogni conica, in quanto l'unica differenza è il valore di e, non ancora utilizzato.
Ci siamo ora ricollegati ai passaggi precedenti, ed essendo e = c ⁄ a >1 poniamo: c² − a² = b² e successivamente dividiamo per −a²b² riottienendo la forma:

x² ⁄ a² − y² ⁄ b² = 1

e le due definizioni sono equivalenti.


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