Equazione canonica - Proprietà principali - Iperboli particolari

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Proprietà analitiche
Proprietà geometriche
Determinare l'equazione

Proprietà analitiche

♦ L'iperbole è una curva aperta, illimitata, che si estende indefinitivamente nei 4 quadranti formando due rami distinti: uno nel semipiano x < 0 e l'altro nel semipiano x > 0. In particolare non vi sono punti dell'iperbole nella fascia −a < x < a.

♦ È dotata di due assi si simmetria, che nel nostro caso coincidono con gli assi cartesiani; di consegueza se un punto (α, β) appartiene all'iperbole, allora anche i punti (−α, β), (−α, −β), (α, −β) appartengono all'iperbole.

♦ Un'iperbole di equazione canonica e una retta possono avere al più 2 punti d'intersezione; in particolare se consideriamo le equazioni:

y = mx + q

i punti in comune sono tanti quante sono le soluzioni dell'equazione:

b²x² − a²(mx + q)² = a²b²

che si ottiene mettendo a sistema le due equazioni precedenti; di conseguenza:

• se l'equazione ammette due soluzioni distinte (Δ > 0) la retta è secante all'iperbole;
• se l'equazione ammette due soluzioni coincidenti (Δ = 0) la retta è tangente all'iperbole;
• se l'equazione non ammette due soluzioni reali (Δ < 0) la retta è esterna all'iperbole.

Nel caso particolare di una retta per l'origine, y = mx, si osserva che:

• se |m| < b ⁄ a; la retta interseca l'iperbole in due punti;
• se |m| = b ⁄ a; la retta è un asintoto;
• se |m| > b ⁄ a; la retta non interseca l'iperbole.
• non può mai esser tangente.

Al contrario una qualunque altra retta, non passante per l'origine, può esser tangente, a condizione che il sistema retta-iperbole ammetta due soluzioni coincidenti (ossia Δ = 0) .

♦ Per determinare l'equazione di una retta è tangente all'iperbole in un suo punto (x₀, y₀), oltre al metodo precedente, si può utilizzare la formula di sdoppiamento:

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Proprietà geometriche

♦ Sia P un punto dell'iperbole; consideriamo i segmenti PF₁ e PF₂, prolungandoli oltre P; allora una delle due bisettrici degli angoli in P è la tangente all'iperbole in P.
In altri termini:

come mostrato in figura 4.

♦ L'iperbole possiede un'importante proprietà ottica, che discende da quest'ultimo risultato: ogni raggio uscente da uno dei due fuochi viene riflesso dall'iperbole in direzione dell'altro fuoco, ma in verso opposto (vedi figura 4).
Infatti sia il piano di riflessione (retta blu) sia l'asse di riflessione sono bisettrici degli angoli, di conseguenza gli angoli di incidenza e riflessione coincidono.
Questo risultato implica che un raggio diretto verso un fuoco, sparato dal semipiano opposto, viene riflesso verso l'altro fuoco.

♦ Costruzione al computer di un'iperbole, utilizzando un qualunque software di geometria dinamica, quale Cabri o Kig:

1. si fissano i fuochi F₁ e F₂, e una retta r;
2. su r si fissano due punti A e B con AB < F₁F₂;
3. si fissa un punto T su r;
4. utilizzando il compasso, si disegna una circonferenza di raggio AT e di centro F₁;
5. analogamente si disegna una circonferenza di raggio TB e di centro F₂;
6. i punti d'intersezione tra le due circonferenze sono chiamati P e Q;
7. si imposta il luogo dei punti P (e poi Q) al variare di T;
8. i due luoghi creati formano un'iperbole.

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Condizioni per determinare l'equazione di un'iperbole

L'equazione di un'iperbole può esser determinata partendo da alcune sue proprietà; osserviamo che, nel caso in cui il centro dell'iperbole sia l'origine, conoscere un fuoco equivale a conoscerli entrambi, per ragioni di simmetria; stesso ragionamento per le direttrici e i vertici sullo stesso asse.

Normalmente, qualora non si voglia determinare l'equazione di un'iperbole partendo da alcune sue proprietà, si parte dall'equazione canonica.

Ecco alcuni esempi di condizioni per determinare l'equazione di un'iperbole, da combinare tra loro per formare un sistema con tre equazioni, in cui la prima condizione è quella fondamentale:

1. condizione fondamentale: tra i coefficienti a, b, c dell'iperbole vale sempre la relazione:

   c² = a² + b²  

2. si conosce un punto appartenente all'iperbole: si applica la condizione di appartenenza, sostituendo le coordinate del punto nell'equazione canonica;
3. si conoscono le coordinate di un fuoco: uguagliamo la formula per la coordinata non nulla del fuoco al valore noto;
4. si conosce l'equazione della direttrice: uguagliamo la formula per la direttrice al valore dell'equazione;
5. si conoscono le coordinate di un vertice: uguagliamo la formula per la coordinata non nulla del vertice al valore noto;
6. si conosce una retta tangente: si pone la condizione di tangenza: in un sistema a parte, si confrontando l'equazione della retta e l'equazione canonica dell'iperbole, e nell'equazione risultante si studia il delta, ponendolo uguale a zero;
7. si conosce la retta a cui appartiene il vertice: si interseca la retta con l'asse di simmetria (trasverso o non) per determinare il vertice, poi si applica la formula del vertice.

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