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<<< Precedente - Successivo >>> Proprietà analitiche ♦ L'iperbole è una curva aperta, illimitata, che si estende indefinitivamente nei 4 quadranti formando due rami distinti: uno nel semipiano x < 0 e l'altro nel semipiano x > 0. In particolare non vi sono punti dell'iperbole nella fascia −a < x < a. ♦ È dotata di due assi si simmetria, che nel nostro caso coincidono con gli assi cartesiani; di consegueza se un punto (α, β) appartiene all'iperbole, allora anche i punti (−α, β), (−α, −β), (α, −β) appartengono all'iperbole. ♦ L'iperbole possiede due rette direttrici: d: y = ± a² ⁄ c ed entrambe le coppie fuoco-direttrice (ogni coppia in un semipiano) genera l'iperbole. ♦ Esistono sempre 2 punti di intersezioni tra l'iperbole e l'asse x, e tali punti sono detti (−a, 0) e (a, 0) ![]() L'iperbole non ha punti d'intersezione con l'asse y. ♦ L'iperbole ha una proprietà che la distingue dalle altre coniche: possiede due Tali asintoti sono due rette passanti per l'origine, di equazione:
♦ Un'iperbole di equazione: x² ⁄ a² − y² ⁄ b² = 1 e una retta generica y = mx + q possono avere al più 2 punti d'intersezione, in particolare tante quante le soluzioni dell'equazione: b²x² − a²(mx + q)² = a²b² che si ottiene mettendo a sistema le equazioni dell'iperbole e della retta in particolare se il sistema ammette due soluzioni coincidenti la retta è tangente all'iperbole. ♦ Viceversa se una retta è tangente all'iperbole in un suo punto (x0, y0), si può utilizzare la 𝓉 : (x · x0) ⁄ a² − (y · y0) ⁄ b² = 1 Nel caso particolare di una retta per l'origine, y = mx, si osserva che:
Proprietà geometriche ♦ Sia P un punto dell'iperbole; consideriamo i segmenti PF1 e PF2, prolungandoli oltre P; allora una delle due bisettrici degli angoli in P è la tangente all'iperbole in P.
![]() ♦ L'iperbole possiede un'importante proprietà ottica, che discende da quest'ultimo risultato: ogni raggio uscente da uno dei due fuochi viene riflesso dall'iperbole in direzione dell'altro fuoco, ma in verso opposto. ♦ Costruzione al computer di un'iperbole, utilizzando un qualunque software di geometria dinamica, quale Cabri o Kig:
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