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Equazione canonica - Proprietà principali - Iperboli particolari

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Proprietà analitiche

♦ L'iperbole è una curva aperta, illimitata, che si estende indefinitivamente nei 4 quadranti formando due rami distinti: uno nel semipiano x < 0 e l'altro nel semipiano x > 0. In particolare non vi sono punti dell'iperbole nella fascia −a < x < a.

♦ È dotata di due assi si simmetria, che nel nostro caso coincidono con gli assi cartesiani; di consegueza se un punto (α, β) appartiene all'iperbole, allora anche i punti (−α, β), (−α, −β), (α, −β) appartengono all'iperbole.

♦ L'iperbole possiede due rette direttrici:

d:   y = ± a² ⁄ c

ed entrambe le coppie fuoco-direttrice (ogni coppia in un semipiano) genera l'iperbole.

♦ Esistono sempre 2 punti di intersezioni tra l'iperbole e l'asse x, e tali punti sono detti vertici dell'iperbole e hanno la proprietà di essere i punti dell'iperbole più vicini ai fuochi e alle direttrici; essi hanno coordinate:

(−a, 0)   e   (a, 0)

L'iperbole non ha punti d'intersezione con l'asse y.

♦ L'iperbole ha una proprietà che la distingue dalle altre coniche: possiede due asintoti, ovvero esistono due rette che si avvicinano indefinitivamente alla curva, senza mai toccarla (vedi figura 3).

Tali asintoti sono due rette passanti per l'origine, di equazione:

♦ Un'iperbole di equazione:

x² ⁄ a² − y² ⁄ b² = 1

e una retta generica y = mx + q possono avere al più 2 punti d'intersezione, in particolare tante quante le soluzioni dell'equazione:

b²x² − a²(mx + q)² = a²b²

che si ottiene mettendo a sistema le equazioni dell'iperbole e della retta in particolare se il sistema ammette due soluzioni coincidenti la retta è tangente all'iperbole.

♦ Viceversa se una retta è tangente all'iperbole in un suo punto (x₀, y₀), si può utilizzare la formula di sdoppiamento:

𝓉 :   (x · x₀) ⁄ a² − (y · y₀) ⁄ b² = 1

Nel caso particolare di una retta per l'origine, y = mx, si osserva che:

• se |m| < b ⁄ a; la retta interseca l'iperbole in due punti;
• se |m| = b ⁄ a; la retta è un asintoto;
• se |m| > b ⁄ a; la retta non interseca l'iperbole;

Proprietà geometriche

♦ Sia P un punto dell'iperbole; consideriamo i segmenti PF₁ e PF₂, prolungandoli oltre P; allora una delle due bisettrici degli angoli in P è la tangente all'iperbole in P.
In altri termini:

♦ L'iperbole possiede un'importante proprietà ottica, che discende da quest'ultimo risultato: ogni raggio uscente da uno dei due fuochi viene riflesso dall'iperbole in direzione dell'altro fuoco, ma in verso opposto.
Infatti sia il piano di riflessione sia l'asse di riflessione sono bisettrici degli angoli, di conseguenza gli angoli di incidenza e riflessione coincidono.
Questo risultato implica che un raggio diretto verso un fuoco, sparato dal semipiano opposto, viene riflesso verso l'altro fuoco (vedi figura 4).

♦ Costruzione al computer di un'iperbole, utilizzando un qualunque software di geometria dinamica, quale Cabri o Kig:

1. si fissano i fuochi F₁ e F₂, e una retta r;
2. su r si fissano due punti A e B con AB < F₁F₂;
3. si fissa un punto T su r;
4. utilizzando il compasso, si disegna una circonferenza di raggio AT e di centro F₁;
5. analogamente si disegna una circonferenza di raggio TB e di centro F₂;
6. i punti d'intersezione tra le due circonferenze sono chiamati P e Q;
7. si imposta il luogo dei punti P (e poi Q) al variare di T;
8. i due luoghi creati formano un'iperbole.

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