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Equazione canonica - Proprietà principali - Trasformazioni

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Definizione



Dati due punti F1 e F2 del piano, l'ellisse è il luogo di tutti i punti P del piano per cui è costante la somma delle distanze da questi punti: PF1 + PF2.
I punti F1 e F2 sono detti fuochi dell'ellisse.

ellisse
Figura 1

Nel nostro studio consideriamo solo un caso particolare di ellissi: quelle aventi i fuochi sull'asse delle x, simmetrici rispetto all'origine (vedi figura 1).

Poniamo quindi:   F1 = (−c, 0)   e   F2 = (c, 0)

con c reale positivo; il caso c = 0 lo possiamo anche accettare, ma l'ellisse degenera in una circonferenza. Supponiamo che la somma costante delle distanze valga 2a, con a > c, e consideriamo un generico punto P = (x, y) dell'ellisse [vedi figura a lato].

Applicando la definizione otteniamo la seguente equazione:

PF1 + PF2 = 2a

Svolgendo i calcoli:

(x + c)² + y² + √(x − c)² + y² = 2a

(x + c)² + y² = 2a − √(x − c)² + y²

(x + c)² + y² = 4a² + (x − c)² + y² − 4a√(x − c)² + y²

4cx − 4a² = − 4a√(x − c)² + y²

a² − cx = a√(x − c)² + y²

a4 + c²x² − 2a²cx = a²x² + a²c² − 2a²cx + a²y²

(a² − c²)x² + a²y² = a²(a² − c²)

essendo a > c, possiamo porre: a² − c² = b²
Sotto tali ipotesi l'equazione dell'ellisse si scrive nella forma:

b²x² + a²y² = a²b²

ℰ :   (x² ⁄ a²) + (y² ⁄ b²) = 1

con a e b coefficienti reali positivi, a > b. Quest'ultima equazione è la forma canonica di un'ellisse.

Nel caso un'equazione presenti a < b vuol dire che l'ellisse ha i fuochi sull'asse y, anziché sull'asse x; in tal caso le coordinate dei fuochi saranno F1 = (0, −c) e F2 = (0, c) e b² = a² + c².

Osservazione: la circonferenza e la parabola sono casi particolari di ellisse: la circonferenza ha i fuochi coincidenti nel centro: C = F1 = F2; per cui è costante la distanza di P da C, come afferma la definizione della circonferenza; la parabola è un caso ancora più particolare di ellisse, in quanto ha uno dei due fuochi a "distanza infinita" (quindi si può vedere solo una parte dell'ellisse, e solo un fuoco).

Condizioni per determinare l'equazione di un'ellisse


L'equazione di un'ellisse può esser determinata partendo da alcune sue proprietà; osserviamo che conoscere un fuoco equivale a conoscerli entrambi, per ragioni di simmetria; stesso ragionamento per le direttrici e i vertici sullo stesso asse.
Ecco alcuni esempi di condizioni sufficienti per determinare l'equazione di un'ellisse:

  1. si conosce un fuoco e una direttrice;
  2. si conosce un fuoco e la somma delle distanze dai punti dell'ellisse;
  3. si conosce un fuoco e un vertice;
  4. si conoscono 2 vertici su assi diversi;
  5. si conosce un fuoco e un punto dell'ellisse;
  6. si conosce l'eccentricità e un fuoco;
  7. si conosce l'eccentricità e un punto dell'ellisse;
  8. si conoscono 2 punti dell'ellisse, non simmetrici rispetto all'origine o agli assi;

L'ellisse come conica


Geometricamente l'ellisse è una sezione conica ottenuta intersecando la superficie di un cono circolare con un piano "quasi" perpendicolare all'asse del cono. Per la precisione, supponendo che l'asse del cono sia verticale, l'inclinazione del piano non può esser uguale o superiore all'inclinazione di una qualunque generatrice del cono.
Nel caso in cui il piano passa per il vertice l'ellisse degenera in un punto.

Ricordiamo che una conica può esser definita come luogo nel seguente modo:

Dati un punto F e una retta d, ed essendo H la proiezione di P su d, una conica è il luogo dei punti P del piano per i quali è costante il rapporto tra PF e PH.

F è detto fuoco, d è detta direttrice e il rapporto e = PF / PH è chiamato eccentricità; essendo un rapporto tra grandezze geometriche, l'eccentricità è un valore non negativo.

Nel caso in cui e < 1 la conica è una ellisse.


ellisse come conica
Figura 2

Fissiamo a e c con 0 < c < a: il caso c = 0 ora lo dobbiamo escludere per poter svolgere i calcoli, questo perchè la circonferenza è una conica particolare, e va trattata diversamente. Quindi poniamo:

  • F = (c, 0) il fuoco positivo dell'ellisse
  • d: x = a² ⁄ c
  • e = c ⁄ a < 1

Cerchiamo tutti e soli i punti P = (x, y) che verificano la definizione della conica. Sia H = (a²/c, y) la proiezione di P su d (vedi figura 2), allora:

PF = √(x − c)² + y²     PH = | x − a² ⁄ c |

Quindi:

PF = PH · e

(x − c)² + y² = | x − a² ⁄ c | · (c ⁄ a)

a · √(x − c)² + y² = | cx − a² |

a² · (x² − 2cx + c² + y²) = c²x² − 2a²cx + a4

a²x² + a²c² + a² y² = c²x² + a4

(a² − c²)x² + a²y² = a²(a² − c²)

Osserviamo che i passaggi precedenti sono equivalenti per ogni conica, in quanto l'unica differenza è il valore di e, non ancora utilizzato.
Possiamo ora osservare che siamo tornati ai passaggi della precedente definizione; essendo e = c ⁄ a <1 poniamo: a² − c² = b² e successivamente dividiamo per a²b² riottienendo la forma:

(x² ⁄ a²) + (y² ⁄ b²) = 1

e le due definizioni sono equivalenti.


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