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Equazione canonica - Proprietà principali - Trasformazioni

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Ellissa traslata


Consiederiamo una generica ellisse ℰ di equazione canonica. Applicando una traslazione di vettore v = (α, β) ai punti del piano cartesiano, i punti appartenenti all'ellisse soddisfano una nuova equazione:

ℰ :   (x − α)² ⁄ a² + (y − β)² ⁄ b² = 1

Tale equazione corrisponde all'equazione canonica di un'ellisse traslata, avente centro nel punto (α, β).
Moltiplicando tutto per a² b² e sviluppando i quadrati di binomio, otteniamo l'equazione.

(x² − 2αx + α²)b² + (y² − 2βy + β²)a² = a² b²

b²x² − 2αb²x + α²b² + a²y² − 2a²βy + a²β² = a² b²

b²x² + a²y² − 2αb²x − 2βa²y + α²b² + β²a² − a² b² = 0

Questa equazione corrisponde ad un'equazione genrale di una conica del tipo:

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Avendo sostituito:

  • A = b²
  • B = a²
  • C = 0
  • D = −2 αb²
  • E = −2 βa²
  • F = α²b² + β²a² − a²b²

Quindi ad una ellisse traslata corrisponde una particolare equazione di II grado in x e y.

Al contrario, da un'equazione generica di una conica è possibile indivuduare un un'ellisse traslata con gli assi paralleli agli assi cartesiani, soltanto se non è presente il termine misto in xy e se i termini di II grado sono concordi (altrimenti otterremmo una iperbole) e diversi da zero (altrimenti otterremmo una parabola o una retta) (se A e B sono entrambi negativi, cambiamo i segni a tutti i termini dell'equazione, in modo che A e B diventino positivi). Quindi l'equazione della conica diventa:

Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0

con A, B > 0; osserviamo che se A = B, otteniamo la classica equazione di una circonferenza.
Verifichiamo la condizione AE² + BD² ≥ 4ABF, al fine di evitare ellissi non rappresentabili graficamente. Quindi per determinare il centro (α; β) di tale ellisse e la lunghezza a e b dei semiassi, applichiamo le formule:

  • α = − D ⁄ 2A
  • β = − E ⁄ 2B
  • a² = (α² + β² − F) ⁄ A
  • b² = (α² + β² − F) ⁄ B

Metodi di costruzione di un'ellisse


Ellisse del giardiniere

Questo è un metodo molto semplice e intuitivo per tracciare un'ellisse, sfruttando la prima definizione:

  1. si fissano i fuochi e si prende uno spago di lunghezza maggiore della distanza tra i fuochi;
  2. si fissano gli estremi dello spago sui fuochi e con la punta della matita si tende lo spago;
  3. mantentendo teso lo spago, si fa scorrere la matita sopra i fuochi, disegnando una curva;
  4. si ripete il disegno disegnando sotto i fuochi, ottenendo così un'ellisse.

Ellisse con due circonferenze

Questo metodo è più tecnico e richiede un po' di precisione:

  1. in un sistema di riferimento Oxy si disegnano due circonferenze con il centro nell'origine, di raggio differente;
  2. dal centro si tracciano diversi raggi, ognuno secante entrambe le circonferenze;
  3. da ogni punto d'intersezione con la circonferenza esterna si tracciano parallele all'asse y;
  4. da ogni punto d'intersezione con la circonferenza interna si tracciano parallele all'asse x;
  5. si considerano i punti d'intersezione delle coppie di rette relative allo stesso raggio;
  6. unendo tali punti si genera un'ellisse (maggiori sono i punti maggiore è la precisione).

Ellisse come trasformazione prospettica

Questo metodo (vedi figura 4) è molto più tecnico e sfrutta il fatto ogni circonferenza vista in prospettiva appare come un'ellisse:

costruzione prospettica dell'ellisse
Figura 4
  1. nello spazio prospettico si fissa l'orizzonte e il punto di fuga;
  2. si disegna un quadrato nel piano verticale (quindi non alterato dalla prospettiva);
  3. si disegna un quadrato a terra, con un lato in comune con l'altro quadrato (in prospettiva diventa un trapezio);
  4. si stracciano i 4 assi di simmentria del quadrato e i corrispondenti segmenti sul trapezio;
  5. si inscrive una circonferenza nel quadrato e si considerano i suoi 8 punti d'intersezione con gli assi;
  6. si riportano tali punti sul trapezio, utilizzando la loro proiezione sulla base del quadrato;
  7. si disegna l'ellisse, sfruttando il fatto che passa per questi 8 punti (in quanto l'ellisse rappresenta la proiezione a terra della circonferenza).

Ellisse al computer

Questa costruzione utilizza un qualunque software di geometria dinamica, quale Geogebra, Cabri o Kig:

  1. si fissano i fuochi F1 e F2, e una retta r;
  2. su r si fissano due punti A e B con AB > F1F2;
  3. si fissa un punto T su r;
  4. utilizzando il compasso, si disegna una circonferenza di raggio AT e di centro F1;
  5. analogamente si disegna una circonferenza di raggio TB e di centro F2;
  6. i punti d'intersezione tra le due circonferenze sono chiamati P e Q;
  7. si imposta il luogo dei punti P (e poi Q) al variare di T;
  8. i due luoghi creati formano un'ellisse.

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