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Equazione canonica - Proprietà principali - Trasformazioni

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Proprietà analitiche


♦ L'ellisse è una curva chiusa, un punto P = (x, y) deve rispettare le seguenti limitazioni:

x² ≤ a²;   y² ≤ b²

È inoltre dotata di due assi si simmetria. Nel nostro caso gli assi coincidono con gli assi cartesiani; di consegueza se un punto (α, β) appartiene all'ellisse, allora anche i punti (-α, β), (-α, -β), (α, -β) appartengono all'ellisse.

♦ L'ellisse possiede due fuochi, quindi possiade anche due rette direttrici: infatti la coppia:

F1 = (−c, 0);   d1 = −a² ⁄ c

e la coppia

F2 = (c, 0);   d2 = a² ⁄ c

generano la stessa ellisse.

♦ Esistono sempre 4 punti di intersezioni tra l'ellisse e gli assi, detti vertici; essi hanno coordinate:

A = (a, 0)   e   A' = (−a, 0);
B = (0, b)   e   B' = (0, −b)

Esempio 1. Determiniamo le caratteristiche dell'ellisse di equazione:

4x² + 9y² − 36 = 0

per ottenere la forma canonica, portiamo il −36 a destra dell'uguale, cambiando il segno, e dividiamo tutto per 36. Otteniamo l'equazione:

(x² ⁄ 9) + (y² ⁄ 4) = 1

Da questa equazione possiamo capire che a² = 9 e b² = 4; da cui otteniamo che:

c² = 9 − 4 = 5

e quindi: a = 3, b = 2, c = √5.

Possiamo adesso scrivere le coordinate dei quattro vertici:

A = (3, 0),   A' = (−3, 0),   B = (0, 2),   B' = (0, −2)

Le coordinate dei fuochi sono:

F1 = (√5, 0),   F2 = (−√5, 0)

Infine, l'eccentricità dei questa ellisse è:

e = c ⁄ a = √5 ⁄ 3

♦ Un'ellisse di equazione:

x² ⁄ a² + y² ⁄ b² = 1

e una retta generica y = mx + q possono avere al più 2 punti d'intersezione, in particolare tante quante le soluzioni dell'equazione:

b²x² + a²(mx + q)² = a²b²

che si ottiene mettendo a sistema le equazioni dell'ellisse e della retta; in particolare se il sistema ammette due soluzioni coincidenti la retta è tangente all'ellisse.

♦ Viceversa se una retta è tangente all'ellisse in un suo punto (x0, y0), si può utilizzare la formula di sdoppiamento:

𝓉 :   (x · x0) ⁄ a² + (y · y0) ⁄ b² = 1

Proprietà geometriche


proprietà ottiche dell'ellisse
Figura 3

♦ Dal teorema di Eulero sulla distanza minima tra 2 punti, discende un interessante risultato: sia P un punto dell'ellisse, consideriamo i segmenti PF1 e PF2, prolungandoli oltre P; allora una delle due bisettrici degli angoli in P è tangente all'ellisse in P (vedi figura 3).

In altri termini:

La tangente ad un'ellisse in un suo punto P (e la normale in quel punto)
forma con i segmenti congiungenti P con i fuochi coppie di angoli congruenti.

♦ Questo risultato porta con sé un'importante proprietà ottica dell'ellisse: ogni raggio uscente da uno dei due fuochi viene riflesso dall'ellisse in direzione dell'altro fuoco.
Infatti sia il piano di riflessione sia l'asse di riflessione sono bisettrici degli angoli, di conseguenza gli i due segmenti sono simmetrici rispetto all'asse di riflessione.


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