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Equazione canonica - Proprietà principali - Fasci di circonferenze

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Definizione



La circonferenza è il luogo di tutti i punti del piano aventi distanza r da un punto C.
La distanza fissa r è detta raggio, il punto C centro.

Geometricamente la circonferenza è una sezione conica ottenuta intersecando la superficie di un cono circolare con un piano perpendicolare all'asse del cono. Tale intersezione diventa banale se il piano passa per il vertice del cono: la circonferenza degenera in un punto.

Il caso più semplice di circonferenza è quella avente come centro l'origine degli assi e raggio 1 (vedi figura 1); applicando il teorema di Pitagora per un generico punto P(x0, y0), abbiamo che:

x0² + y0² = 1

definizione di circonferenza
Figura 1

Quindi l'equazione di questa circonferenza è:

x² + y² − 1 = 0

In generale l'equazione di una circonferenza avente come centro l'origine e raggio r qualunque è:

𝒞 :   x² + y² = r²

Equazione generale


Per arrivare all'equazione generale della circonferenza, occorre imporre la condizione data dalla definizione: la distanza di un qualunque punto dal centro deve essere uguale al raggio.
Sia Ω(α, β) il centro, e sia r la lunghezza del raggio; applicando la formula per la distanza tra due punti si ottiene:

(x − α)² + (y − β)² = r

svolgendo i calcoli:

(x − α)² + (y − β)² = r²

x² − 2αx + α² + y² − 2βy + β² − r² = 0

e ponendo:

  • a = − 2α
  • b = − 2β
  • c = α² + β² − r²

otteniamo l'equazione canonica della circonferenza:

𝒞 :   x² + y² + ax + by + c = 0

Dalla formula generale, e dalla definizione di a, b, c, ricaviamo che:

♦ Coordinate del centro:

α = −a ⁄ 2

β = −b ⁄ 2

♦ Lunghezza del raggio:

r = √α² + β² − c

o in maniera equivalente:

r = 2 √a² + b² − 4c

Esempio 1. Determiniamo il centro e il raggio della circonferenza di equazione:

x² + y² + 4x − 3y + 1 = 0

In questa equazione a = 4, b = −3, c = 1; calcoliamo le coordinate del centro:

α = −a ⁄ 2 = −4 ⁄ 2 = −2

β = −b ⁄ 2 = −(−3) ⁄ 2 = 3 ⁄ 2

Quindi il centro sarà il punto Ω(− 2 ; 3 ⁄ 2). Calcoliamo ora il raggio:

r = 2 √a² + b² − 4c =

= 2 √(4)² + (−3)² − 4(1) =

= 2 √16 + 9 − 4 =

= 2 √21

Il raggio della circonferenza è lungo 2 √21.


Esempio 2. Determiniamo l'equazione della circonferenza avente centro nel punto C (2; −3) e raggio 7.

In questo esempio α = 2, β = −3, r = 7. Applicando la definizione, è sufficiente applicare la formula:

(x − α)² + (y − β)² = r²

(x − 4)² + (y + 3)² = 7²

x² − 8x + 16 + y² + 6x + 9 = 49

x² + y² − 8x + 6x + 16 + 9 − 49 = 0

Svolgendo i calcoli, l'equazione dell circonferenza è:

x² + y² − 8x + 6x − 24 = 0

Condizioni per determinare l'equazione di una circonferenza


L'equazione di una circonferenza può esser determinata qualora si conoscano alcune sue proprietà.
Ecco alcuni esempi di condizioni sufficienti per determinare l'equazione di una circonferenza:

  1. si conosce il centro e il raggio;
  2. si conosce il centro e un punto della circonferenza;
  3. si conosce il centro e una retta tangente;
  4. si conoscono 2 coefficienti dell'equazione e un punto della circonferenza;
  5. si conosce un coefficiente dell'equazione e 2 punti della circonferenza;
  6. si conosce una retta tangente e 2 punti della circonferenza;
  7. si conoscono 3 punti appartenenti alla circonferenza;

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