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Equazione canonica - Proprietà principali - Fasci di circonferenze

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I Fasci di circonferenza


Un'equazione della circonferenza contenente uno o più parametri può dar luogo ad un fascio di circonferenze, ossia ad un insieme di circonferenze aventi una proprietà in comune. Tale proprietà può essere condividere lo stesso centro, lo stesso raggio, passare per un determinato punto o per una coppia di punti.

Se l'equazione del fascio contiene solo uno o due parametri di primo grado, e se può essere messa in una delle seguenti forme:

Con due parametri:

ℱ(λ, μ) :   λ(x² + y² + ax + by + c) + μ(x² + y² + a'x + b'y + c') = 0

Con un solo parametro:

ℱ(k) :   (x² + y² + ax + by + c) + k(x² + y² + a'x + b'y + c') = 0

con λ, μ, k parametri, allora il fascio è generato da due circonferenze (quelle dentro le parantesi). Se tali ciconferenze hanno delle caratteristiche in comune (ad esempio hanno 2 punti in comune), tutte le circonferenze del fascio continueranno ad avere tali caratteristiche.

Esempi



Esempio 1. Consideriamo il fascio di equazione parametrica:

(1 + k)x² + (1 + k)y² − 2(1 − k)x − 2(1 + k)y + 1 + k = 0

tale equazione può esser riscritto nel seguente modo::

(x² + y² − 2x − 2y + 1) + k(x² + y² + 2x − 2y + 1) = 0

le circonferenze generatrici del fascio sono tangenti nel punto P (0, 1); hanno quindi la stessa tangente in quel punti, la retta:

𝓉 :   x = 0

ovvero l'asse y; quindi le circonferenze del fascio sono tutte quelle tangenti in (1, 0) all'asse y. Possiamo riscrivere l'equazione del fascio, sostituendo alla seconda generatrice l'equazione della retta tangente. In tal modo otteniamo:

x² + y² + (k − 2)x − 2y = 0

In generale troviamo un punto fisso in cui tutte le circonferenze sono tangenti ad una stessa retta, possiamo riscrivere l'equazione sostituendo ad una circonferenza generatrice l'equazione della retta tangente; analogamente se si hanno due punti fissi, si può sostituire una circonferenza generatrice con la retta passante per tali punti.
In tal modo il parametro si può eliminare dai termini di secondo grado.

Esempio 2. Consideriamo l'equazione parametrica:

x² + y² − 2kx − 4y = 0

fasci di circonferenze
Figura 2

essa rappresenta un fascio di circonferenze di raggio variabile, passanti per i punti O (0, 0) e A (0, 4); quindi sono tutte circonferenze differenti, in cui il centro è sempre equidistante da O e da A: si trova quindi sull'asse del segmento OA, che ha equazione:

a: y = 2

Nella figura 2 sono mostrate le circonferenze del fascio ottenute ponendo k = −1, −0.5, 0, 0.5, 1: come si nota passano tutte per due punti fissi e i centri sono allineati lungo l'asse a, colorato di blu.


Esempio 3. Consideriamo l'equazione parametrica:

x² + y² − 6kx − 4ky + 13k − 1 = 0

fasci di circonferenze
Figura 3

essa rappresenta un fascio di circonferenze di raggio unitario e di centro di coordinate (3k, 2k) al variare di k in R; quindi sono tutte circonferenze equivalenti, i cui centri giacciono sulla retta di equazione:

r: y = ⅔ x

Nella figura 3 sono mostrate le circonferenze del fascio ottenute ponendo k = −1, −0.5, 0, 0.5, 1: come si nota sono tutte equivalenti tra loro, e allineate lungo la retta r, colorata di blu.

In generale si possono avere equazioni con parametri di grado superiore al primo; in tal caso il fascio si presenta più articolato.

Esempio 4. Consideriamo l'equazione parametrica:

x² + y² − 2kx − 2(k² − 1)y + k²(k² − 1) = 0

fasci di circonferenze
Figura 4

essa rappresenta un fascio di circonferenze di raggi unitari, avente i centri su una parabola di equazione:

p: y = x² − 1

Nella figura 4 sono mostrate le circonferenze del fascio ottenute ponendo k = −2, −1.5, −1, −0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2: le circonferenze sono disegnate in rosso, e i retativi centri appartengono alla parabola p, disegnata in blu.


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