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Equazione canonica - Proprietà principali - Fasci di circonferenze

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I Fasci di circonferenza


Un'equazione della circonferenza contenente uno o più parametri può dar luogo ad un fascio di circonferenze, ossia ad un insieme di circonferenze aventi una proprietà in comune. Tale proprietà può essere condividere lo stesso centro, lo stesso raggio, passare per un determinato punto o per una coppia di punti.

Se l'equazione del fascio contiene solo uno o due parametri di primo grado, e se può essere messa in una delle seguenti forme:

Con due parametri:

ℱ(λ, μ) :   λ(x² + y² + ax + by + c) + μ(x² + y² + a'x + b'y + c') = 0

Con un solo parametro:

ℱ(k) :   (x² + y² + ax + by + c) + k(x² + y² + a'x + b'y + c') = 0

con λ, μ, k parametri reali.

Il fascio è generato da due equazioni (quelle dentro le parantesi) chiamate generatrici del fascio: in genere sono due circonferenze, ma spesso possono anche essere una circonferenza e una retta. Se tali generatrici hanno delle caratteristiche in comune (ad esempio hanno 2 punti in comune, oppure hanno lo stesso centro), allora tutte le circonferenze del fascio continueranno ad avere tali caratteristiche.

Infine, operando una sottrazione membro a membro tra le due circonferenze del fascio scritte in forma canonica, si ottiene l'equazione di una retta, chiamata asse radicale. Tale retta rappresenta una circonferenza degenere del fascio, un caso limite in cui una circonferenza è talmente grande da diventare rettilinea.

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Esempi



Esempio 3. Studiamo il fascio di equazione parametrica:

(1 + k)x² + (1 + k)y² − 2(1 − k)x − 2(1 + k)y + 1 + k = 0

Svolgimento. Svolgiamo i calcoli e raggruppiamo i termini con il parametro k, nel seguente modo:

(x² + y² − 2x − 2y + 1) + k(x² + y² + 2x − 2y + 1) = 0

le circonferenze generatrici del fascio sono:

  • 𝒞1 :   x² + y² − 2x − 2y + 1 = 0
  • 𝒞2 :   x² + y² + 2x − 2y + 1 = 0

Sottraendo membro a membro si ottiene l'equazione dell'asse radicale:

x = 0

Svolgendo il sistema tra l'asse radicale e una delle due generatrici, si ricava che essi sono tangenti nel punto P (0, 1); tale caratteristica viene estesa a tutte le circonferenze di questo fascio: tutte le circonferenze del fascio sono tangenti nel punto P alla retta x = 0 (ovvero l'asse y).

Conclusione: questo fascio rappresenta tutte le circonferenze tangenti in (1, 0) all'asse y.

Osservazione: possiamo riscrivere l'equazione del fascio, sostituendo alla seconda generatrice l'equazione dell'asse radicale. In tal modo otteniamo una nuova equazione che rappresenta il fascio:

x² + y² + (k − 2)x − 2y = 0

In generale troviamo un punto fisso in cui tutte le circonferenze sono tangenti ad una stessa retta, possiamo riscrivere l'equazione sostituendo ad una circonferenza generatrice l'equazione della retta tangente; analogamente se si hanno due punti fissi, si può sostituire una circonferenza generatrice con la retta passante per tali punti.
In tal modo il parametro si può eliminare dai termini di secondo grado.

Esempio 4. Studiamo il fascio di equazione parametrica:

x² + y² − 2kx − 4y = 0

Svolgimento. Le circonferenze generatrici del fascio sono:

  • 𝒞1 :   x² + y² − 4y = 0
  • 𝒞2 :   − 2x = 0

La seconda equazione è una circonferenza degenere (essendo di primo grado) e quindi rappresenta l'asse radicale che, in questo caso, coincide con l'asse y.
Dall'intersezione tra queste due equazioni si ottengono i due punti distinti: O (0, 0) e A (0, 4).

fasci di circonferenze
Figura 2

Conclusione: L'equazione iniziale rappresenta quindi un fascio di circonferenze passanti per i due punti ottenuti; inoltre tutte queste circonferenze hanno il centro sull'asse del segmento OA, che ha equazione:

a:   y = 2

Nella figura 2 sono mostrate le circonferenze del fascio ottenute ponendo k = −1, −0.5, 0, 0.5, 1: come si nota passano tutte per due punti fissi e i centri sono allineati lungo l'asse a, colorato di blu.


Esempio 5. Studiamo il fascio di equazione parametrica:

x² + y² − 6kx − 4ky + 13k − 1 = 0

Svolgimento. Le circonferenze generatrici del fascio sono:

  • 𝒞1 :   x² + y² − 1 = 0
  • 𝒞2 :   6x + 4y − 13 = 0

Anche in questo caso la seconda equazione è una circonferenza degenere (essendo di primo grado) e quindi rappresenta l'asse radicale.

fasci di circonferenze
Figura 3

Risolvendo il sistema tra queste due equazioni, si osserva che non hanno punti in comune; inoltre i centri di tali circonferenze giacciono sulla retta di equazione:

r:   2x − 3y = 0

Nella figura 3 sono mostrate le circonferenze del fascio ottenute ponendo alcuni valori per k.

Conclusione: l'equazione rappresenta un fascio di circonferenze non aventi alcun punto in comune tra loro, ma con i centri allineati lungo una retta.


Esempio 6. Dato il fascio di equazione

x² + y² − 2kx − 2(k − 1)y + k + 5 = 0

determiniamo per quale valore di k si ottiene:

  1. una circonferenza passante il punto P (3; 0);
  2. una circonferenza di raggio 1.

Svolgimento.

(a). Per determinare il valore del parametro affinch´ la circonferenza passi per un punto, è sufficiente applicare la condizione di apparteneza all'equazione iniziale, con le coordinate del punto in questione; risolvendo l'equazione troviamo l'unica lettera rimasta, ossia il parametro k.

(3)² + (0)² − 2k(3) − 2(k − 1)(0) + k + 5 = 0

9 + 0 − 6k − 0 + k + 5 = 0

6k + k = − 9 − 5

7k = − 14

k = − 2

(b). Per determinare il valore del parametro affinch´ la circonferenza abbia raggio 2, è necessario uguagliare la formula per calcolare il raggio al valore del raggio assegnato; risolvendo l'equazione ottenuta troviamo l'unica lettera rimasta, ossia il parametro k.
Il raggio si calcola:

r = ½ √a² + b² − 4c

Dove nel nostro caso: a = −2k, b = −2(k−1), c = k+5 ed r = 2. Sostituendo:

1 = ½ √(−2k)² + (−2(k−1))² − 4(k+5)

Risolviamo questa equazione, moltiplicando per 2 da entrambe le parti, quindi elevando al quadrato; otteniamo:

4 = (−2k)² + 4(k−1)² − 4(k+5)

4 = 4k² + 4k² − 8k + 4 − 4k − 20

4k² + 4k² − 8k + 4 − 4k − 20 − 4 = 0

8k² − 12k − 20 = 0

Dividiamo tutto per 4 e risolviamo l'equazione, con la formula risolutiva:

2k² − 3k − 5 = 0

k1;2   =  
+3 ± √9 + 40
4
  =  
+3 ± 7
4

k1 = 5/2   ∨   k2 = −1

Conclusione: per k = −2 si ottiene una circonferenza passante per il punto P (3;0), mentre per k = 5/2 oppure per k = −1 si ottengono due circonferenze di raggio 1.

In generale si possono avere equazioni con parametri di grado superiore al primo; in tal caso il fascio si presenta più articolato.

Esempio 7. Studiamo il fascio di equazione parametrica:

x² + y² − 2kx − 2(k² − 1)y + k²(k² − 1) = 0

fasci di circonferenze
Figura 4

Svolgimento. In questo caso non possiamo ottenere due generatrici, dal momento che sono presenti diverse potenze del parametro k.
Tuttavia assegnando alcuni valori a k e rappresentando le circonferenze ottenute, si osserva che l'equazione rappresenta un fascio di circonferenze di raggi unitari, aventi i centri su una parabola di equazione:

p: y = x² − 1

Nella figura 4 sono mostrate le circonferenze del fascio ottenute ponendo k = −2, −1.5, −1, −0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2: le circonferenze sono disegnate in rosso, e i retativi centri appartengono alla parabola p, disegnata in blu.

Conclusione: l'equazione rappresenta un fascio di circonferenze di raggio unitario, aventi i centri che appartengono ad una parabola.

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