Equazione canonica - Proprietà principali - Fasci di circonferenze

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Proprietà della circonferenza

♦ La circonferenza è una curva chiusa; è possibile rappresentarla sul piano solo se vale la seguente condizione:

a² + b² − 4c ≥ 0

che corrisponde ad imporre che il raggio abbia un valore reale; tale condizione si può riscrivere:

a² + b² ≥ 4c

♦ Una circonferenza e una retta possono avere fino a due punti d'intersezione; tali punti si possono trovare risolvendo il sistema di II grado tra l'equazione della retta e quella della circonferenza; l'esistenza di questi punti si verifica studiando il discriminate dell'equazione risolutrice:

1. se il Δ > 0, la distanza della retta dal centro è minore del raggio e la retta è secante la circonferenza: si hanno deu punti d'intersezione distinti;
2. se il Δ = 0, la distanza della retta dal centro è uguale al raggio e la retta è tangente alla circonferenza in un punto (due punti d'intersezione coincidenti);
3. se il Δ < 0, la distanza della retta dal centro è maggiore del raggio e la retta è esterna alla circonferenza: non si hanno punti d'intersezione;

quindi una generica retta tangente alla circonferenza si trova imponendo: Δ = 0, oppure che la distanza centro-retta sia uguale al raggio.

Per determinare invece la tangente alla circonferenza in un suo punto P(x₀, y₀), si può usare la formula di sdoppiamento:

♦ L'equazione della circonferenza non può essere messa in forma esplicita; infatti se ad esempio proviamo ad esplicitare la y (come per la retta) otteniamo:

(y − β)² = r² − (x − α)²

Se operiamo un'estrazione a radice in ambo i membri non abbiamo più un'equazione equivalente, a meno di porre le condizioni di esistenza per la x, e di porre il ± davanti alla radice; otteniamo quindi:

y = ± √ r² − (x − α)² + β

Scritta in questo modo, la circonferenza non è più una curva unica, ma è vista come l'unione di due semicirconferenze, una superiore e una inferiore:

𝒞₁ : y = √ r² − (x − α)² + β   con y > β

𝒞₂ : y = − √ r² − (x − α)² + β   con y < β

Utilizzando i coefficienti a, b, c:

y = ± √ (b²/4) − c − ax − x² − (b/2)

♦ La circonferenza è un caso particolare di ellisse avente i semiassi uguali tra loro, di lunghezza r.
La sua eccentricità quindi vale: e = √(1 − r/r) = 0.
Può esser vista quindi come una conica avente la direttrice infinitamente lontana dal fuoco e dalla conica stessa; questo comporta tra l'altro che la distanza dal fuoco (che diventa il centro), essendo infinitamente inferiore, può esser assunta costante (e diventa il raggio).
Di conseguenza però non è più possibile usare l'equazione generica di conica per descrivere la circonferenza.

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