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Equazione canonica - Proprietà principali - Iperboli particolari

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Iperbole equilatera


Un'iperbole è detta equilatera se gli asisntoti sono perpendicolari tra loro.
In un'iperbole equilatera si ha a = b, quindi l'equazione di un'iperbole equilatera con i fuochi sull'asse x e il centro nell'origine diventa:

x² ⁄ a² − y² ⁄ a² = 1

che si può scrivere nella forma più comoda:

ℐ :   x² − y² = a²

che ha le seguenti caratteristiche:

  • i vertici hanno coordinate (±a, 0)
  • i fuochi hanno coordinate (±√2a, 0)
  • le direttrici hanno equazione x = ±(√2 ⁄ 2) a
  • gli asintoti hanno equazione y = ±x
  • l'eccentricità vale √2

Se a = 1, l'iperbole ha la seguente semplice equazione:

x² − y² = 1

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti


Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti
Figura 5

Possiamo cambiare sistema di riferimento, considerando gli asintoti dell'iperbole equilatera come nuovi assi cartesiani (figura 5).
Tale cambiamento è ottenibile con una rotazione di 45° in senso anti-orario:

X = (√2 ⁄ 2) · (x + y)

Y = (√2 ⁄ 2) · (y − x)

Nel nuovo sistema di riferimento l'equazione di un'iperbole equilatera diventa ancora più semplice:

ℐ :   XY = k

essendo k = a² ⁄ 2; i fuochi e i vertici non si trovano più sugli assi cartesiani, bensì sulla bisettrice del 1° e 3° quadrante.
Un'iperbole equilatera in tale sistema è detta riferita ai propri asintoti e ha le seguenti caratteristiche:

  • i vertici hanno coordinate (−√k, −√k) e (√k, √k)
  • i fuochi hanno coordinate (−√2k, −√2k) e (√2k, √2k)
  • le direttrici hanno equazione y = −x ±√k
  • gli asintoti coincidono con gli assi cartesiani
  • l'eccentricità vale √2 (non varia per isometrie)

Iperbole equilatera traslata


Si indica con iperbole equilatera traslata un'iperbole avente per asintoti due rette parallele agli assi cartesiani (figura 6); è quindi ottenibile dalla curva precedente, mediante una traslazione di un vettore (λ, μ):

X = x − λ

Y = y − μ

Nel nuovo sistema di riferimento l'equazione diventa:

(x − λ)(y − μ) = k

Iperbole equilatera traslata
Figura 6

Applicando le seguenti sostituzioni:

  • λ = −d ⁄ c
  • μ = a ⁄ c
  • k = (bc − ad) ⁄ c²

ed esplicitando la y a sinistra, si ottiene a destra una frazione algebrica in x; tale equazione è una formula generale per le iperboli traslate:

ℐ :   y = (ax + b) ⁄ (cx + d)

Tale equazione rappresenta una funzione algebrica razionale fratta, chiamata funzione omografica. Un'iperbole equilatera traslata ha quindi gli asintoti di equazione:

x = −d ⁄ c   e   y = a ⁄ c


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