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Introduzione - Isometrie - Omotetie e Similitudini - Affinità generiche

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Le affinità


Un'affinità è una generica trasformazione del piano descritta da equazioni lineari in x e y.
Da un punto di vista geometrico:

Una affinità è una trasformazione del piano che conserva il parallelismo tra rette.

Inoltre un'affinità conserva l'intersezione tra le rette, i punti medi dei segmenti e il rapporto tra aree di figure diverse.
In particolare chiamiamo rapporto di affinità R il rapporto tra le aree originali e le aree trasformate.

Un'affinità è descritta dal sistema lineare:

x' = ax + by + c

y' = dx + ey + f

Essendo a, b, c, d, e, f numeri reali; inoltre R = ae − bd è il rapporto di affinità. Osserviamo che:

  • le similitudini sono particolari affinità;
  • il modulo del rapporto di affinità è il quadrato del rapporto di similitudine: |R| = k²
  • R non può esser nullo, altrimenti la trasformazione è degenere;
  • se R < 0, l'affinità inverte le figure;
  • se R > 0, l'affinità non inverte le figure;

Esempio 6. Consideriamo l'affinità descritta dal sistema:

x' = x − 2y + 1

y' = 3x + y

Le affinità
Figura 6

Il rapporto di affinità è R = (1)(1) − (−2)(3) = 7, di conseguenza le aree diventeranno 7 volte più grandi.

Nella figura 6 è rappresentato l'effetto di questa affinità sulla figura verde: ad esempio il punto C = (1, −1) si è spostato nel punto C' = (4, 2).

Come si può notare la figura azzurra, frutto della trasformazione, ha una superficie maggiore, conserva i lati paralleli, tuttavia non ha più la forma iniziale.

L'effetto visibile di questa trasformazione è come se la figura verde fosse stata spostata, ingrandita e in seguito inclinata o stiracchiata.

Le similitudini, quindi anche le isometrie e le omotetie, sono particolari affinità, che si possono ottenere imponendo condizioni aggiuntive alla definizione di affinità.

Classificazione e proprietà delle affinità


Consiederiamo quindi una trasformazione generale e studiamo come, aggiungiendo particolari condizioni, possiamo ottenere le varie trasformazioni viste.

Trasformazione: AFFINITÀ

Condizione geometrica: si conserva il parallelismo fra le rette.

Condizione algebrica: sistema di I grado, con R = ae − bd ≠ 0

Sistema:

x' = ax + by + c
y' = dx + ey + f

Trasformazione: SIMILITUDINE NON INVERTENTE

Condizione geometrica: affinità + si conserva il rapporto tra segmenti + gli angoli non vengono modificati + si conserva l'ordine dei vertici

Condizione algebrica: affinità + (a = e) + (b = -d)

Sistema:

x' = ax − by + c
y' = bx + ay + f

Trasformazione: SIMILITUDINE INVERTENTE

Condizione geometrica: affinità + si conserva il rapporto tra segmenti + gli angoli non vengono modificati + si inverte l'ordine dei vertici.

Condizione algebrica: affinità + (a = −e) + (b = d)

Sistema:

x' = ax + by + c
y' = bx − ay + f

Trasformazione: OMOTETIA

Condizione geometrica: similitudine non invertente + i punti corrispondenti sono allineati con il centro.

Condizione algebrica: similitudine non invertente + (b = d = 0)

Sistema:

x' = ax + c
y' = ay + f

Trasformazione: ISOMETRIA

Condizione geometrica: similitudine + la lunghezza dei segmenti non viene modificata.

Condizione algebrica: similitudine + (a = cos(ω)) + (b = sen(ω))

Sistema:

x' = x·cos(ω) ± y·sen(ω) + c
y' = x·sen(ω) ± y·cos(ω) + f

Trasformazione: ROTO-TRASLAZIONE
(Isometria non invertente, composizione di una rotazione e di una traslazione)

Condizione geometrica: similitudine non invertente + la lunghezza dei segmenti non viene modificata.

Condizione algebrica: similitudine non invertente + (a = cos(ω)) + (b = sen(ω))

Sistema:

x' = x·cos(ω) − y·sen(ω) + c
y' = x·sen(ω) + y·cos(ω) + f

Trasformazione: GLISSO-RIFLESSIONE
(Isometria invertente, composizione di una simmetria assiale e di una traslazione)

Condizione geometrica: similitudine invertente + la lunghezza dei segmenti non viene modificata.

Condizione algebrica: similitudine invertente + (a = cos(ω)) + (b = sen(ω))

Sistema:

x' = x·cos(ω) + y·sen(ω) + c
y' = x·sen(ω) − y·cos(ω) + f

Trasformazione: TRASLAZIONE

Condizione geometrica: roto-traslazione + i coefficienti angolari delle rette non vengono modificati.

Condizione algebrica: roto-traslazione + (a = e = +1) * , ossia ω = 0

Sistema:

x' = x + c
y' = y + f

Trasformazione: ROTAZIONE

Condizione geometrica: roto-traslazione + le distanza dal centro di rotazione non vengono modificate.

Condizione algebrica: roto-traslazione + (c = f = 0)

Sistema:

x' = x·cos(ω) − y·sen(ω)
y' = x·sen(ω) + y·cos(ω)

Trasformazione: SIMMETRIA ASSIALE

Condizione geometrica: glisso-riflessione + le distanza dalla retta non vengono modificate.

Condizione algebrica: glisso-riflessione + (bf = -c(a+1))

Sistema:

x' = ax + by − bc
y' = bx − ay + c(a + 1)

Trasformazione: SIMMETRIA CENTRALE

Condizione geometrica: roto-traslazione + l'angolo di rotazione vale π, ossia 180°.

Condizione algebrica: roto-traslazione + (a = e = −1) * , ossia ω = π.

Sistema:

x' = −x + c
y' = −y + f

Trasformazione: IDENTITÀ

Condizione geometrica 1: rotazione con angolo di rotazione è nullo, ossia 0°.

Condizione geometrica 2: traslazione con vettore nullo.

Condizione algebrica 1: rotazione + (a = e = +1) * , ossia ω = 0.

Condizione algebrica 2: traslazione + (c = f = 0), ossia il vettore nullo.

Sistema:

x' = x
y' = y

[ * Osserviamo che questa condizione, unita alle condizioni per l'isometria, comporta necessariamente anche (b = d = 0), come infatti si ha nel sistema di una traslazione, di una simmetria centrale, o dell'identità: quindi non è necessario scrivere anche questa condizione, essendo una conseguenza naturale delle altre. ]

Punti uniti


Una trasformazione possiede punti uniti se esistono punti che non vengono modificati dalla trasformazione.
Può accadere che una determinata trasformazione abbia sempre particolari punti uniti, che non li abbia mai, oppure che possa o meno averli a seconda dei casi.

  • Affinità – non possiedono punti uniti particolari.
  • Similitudini – non possiedono punti uniti particolari.
  • Omotetie – il centro di omotetia è sempre l'unico punto unito.
  • Isometrie – non possiedono punti uniti particolari.
  • Traslazioni – non possiedono alcun punto unito.
  • Rotazioni – il centro di rotazione è sempre l'unico punto unito.
  • Simmetria assiale – i punti sull'asse di simmetria sono sempre gli unici punti uniti.
  • Simmetria centrale – il centro di simmetria è sempre l'unico punto unito.
  • Identità – tutti i punti del piano sono sempre punti uniti.

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