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Introduzione - Grafici delle funzioni - Tavola goniometrica

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Attenzione: può accadere che alcuni simboli non siano visualizzati correttamente, leggi le info alla sezione compatibilità.

Seno e coseno


Sono due le funzioni fondamentali goniometriche di un angolo, il seno e il coseno, che ci forniscono informazioni utili ad identificare l'angolo. Storicamente sono stati introdotti per studiare in modo veloce triangoli rettangoli, in quanto la loro prima definizione, risalente alle prime grandi civiltà, fu:

il seno di un angolo acuto è il rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa;

il coseno di un angolo acuto è il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo e l'ipotenusa.

Tuttavia è possibile definirli in modo più analitico: con riferimeto alla figura 1, rappresentante la circonferenza goniometrica, definiamo:

seno e coseno
Figura 1
  • il seno di α è l'ordinata del punto P (segmenti PH o OK);
  • il coseno di α è l'ascissa del punto P (segmenti PK o OH).

La funzione seno di un angolo α si indica con sen (α), o sin (α); il coseno di α si indica con cos (α).

Per conoscere i valori di seno e coseno relativi ad alcuni angoli, consulta la pagina con la tavola goniometrica.

Dalle definizioni seguono alcune proprietà:

  1. il seno e il coseno sono numeri puri, non hanno unità di misura;
  2. hanno valore limitato, sono sempre compresi tra −1 e +1;
  3. dal teorema di Pitagora e dal fatto che il raggio è unitario, segue la prima relazione fondamentale della trigonometria, valida per ogni angolo α:

sen²(α) + cos²(α) = 1

Tangente e cotangente


La tangente e la cotangente sono funzioni secondarie di un angolo, introdotte storicamente per studiare i triangoli rettangoli, nel seguente modo:

la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra il cateto opposto all'angolo e il cateto adiacente;

la cotangente di un angolo acuto è il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo e il cateto opposto.

Seguendo la via analitica, con riferimeto alla figura 2, possiamo definirli:

tangente e cotangente
Figura 2
  • la tangente di α è la lunghezza del segmento QA, staccato dall'angolo α sulla tangente in A alla circonferenza;
  • la cotangente di α è la lunghezza del segmento TB, staccato dal complementare dell'angolo α sulla tangente in B alla circonferenza;

La funzione tangente di α si indica con tan (α), o tg (α); la cotangente di α si indica con cot (α) o ctg (α).

Per conoscere i valori di tangente e cotangente relativi ad alcuni angoli, consulta la pagina con la tavola goniometrica.

Ecco alcune proprietà di queste funzioni:

  1. la tangente e la cotangente sono numeri puri, non hanno unità di misura;
  2. hanno valore illimitato (possono avere un qualunque valore reale);
  3. la tangente è una funzione non definita per gli angoli di ampiezza π ⁄ 2 e 3π ⁄ 2;
  4. la cotangente è una funzione non definita per gli angoli di ampiezza 0 e π;
  5. dalle similitudini dei triangoli discendono le altre 3 relazioni fondamentali della trigonometria:

tan(α) = sen(α) ⁄ cos(α)   ∀ α ≠ π ⁄ 2, 3π ⁄ 2

cot(α) = cos(α) ⁄ sen(α)   ∀ α ≠ 0, π

tan(α) = 1 ⁄ cot(α)   ∀ α ≠ 0, π ⁄ 2, π e 3π ⁄ 2

Secante e cosecante


Ecco altre due funzioni di un angolo che spesso si studiano; per mezzo dei triangoli rettangoli possiamo introdurle così:

la secante di un angolo acuto è il rapporto tra l'ipotenusa e il cateto adiacente all'angolo;

la cosecante di un angolo acuto è il rapporto tra l'ipotenusa e il cateto opposto all'angolo.

Anche queste due funzioni si possono definire in modo più analitico: con riferimeto alla figura 3, definiamo:

secante e cosecante
Figura 3
  • la secante di α è l'ascissa del punto E (segmenti OE o OQ);
  • la cosecante di α è l'ordinata del punto D (segmenti OD o OT).

essendo DE la tangente alla circonferenza nel punto P. La funzione secante di un angolo α si indica con sec(α); la cosecante di α si indica con csc(α), o cosec(α).

Dalle definizioni seguono alcune proprietà:

  1. secante e cosecante sono numeri puri, non hanno unità di misura;
  2. il loro valore, in modulo, è sempre maggiore o uguale di 1;
  3. la secante è una funzione non definita per gli angoli di ampiezza π ⁄ 2 e 3π ⁄ 2;
  4. la cosecante è una funzione non definita per gli angoli di ampiezza 0 e π;
  5. dalla definizione (e dal primo teorema di Euclide) seguono le seguenti relazioni:

    sec(α) = 1 ⁄ cos(α)   ∀ α ≠ π ⁄ 2, 3π ⁄ 2

    csc(α) = 1 ⁄ sen(α)   ∀ α ≠ 0, π



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