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Introduzione - Dominio - Intersezioni - Segno

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Il concetto di funzione


Una relazione R tra due insiemi A e B è una regola che associa alcuni elementi x dell'insieme A con alcuni elementi y dell'insieme B; non sempre ogni elemento di un insieme è associato ad un elemento dell'altro insieme, e la relazione a volte non è reciproca.
Se R associa x di A con y di B, si può scrivere x R y, oppure (x, y) ∈ R. Se R associa ogni elemento di A con ogni elemento di B allora R corrisponde all'insieme di tutti i possibili accoppiamenti tra x e y, chiamato prodotto cartesiano tra A e B, e identificato con A × B. In generale R è un sottoinsieme di A × B.

Una funzione tra A e B è una particolare relazione ƒ tra gli insiemi A e B, indicata con

ƒ : A → B

che ha le seguenti proprietà:

  • ogni elemento x di A ha sempre un elemento associato in B;
  • ogni elemento x di A non può essere associato a due elementi diversi di B.

L'insieme A è chiamato dominio della funzione, B è codominio della funzione; si può riassumere dicendo che:

ogni elemento x del dominio A è in relazione con uno ed esattamente un solo elemento y del codominio B.

Se un elemento y del codominio corrisponde ad un elemento x del dominio, si dice che y è l'immagine di x. Può accadere anche che esistano elementi di B che non stiano in relazione con alcun elemento di A, o che al contrario che stiano in relazione con diversi elementi di A.
In parole povere: se scegliamo un x, automaticamente è deciso chi è la sua immagine y, ma se al contrario scegliamo un y possiamo avere problemi a decidere di quale x sia immagine (o perché non ce n'è nessuno o perché ce ne sono troppi).

Se due numeri reali x ed y sono in relazione per la funzione ƒ, ossia se y è immagine di x, si scrive:

y = ƒ(x)

x è detta varabile indipendente, y è detta varabile dipendente.

Una funzione è iniettiva se ogni y è associato non più di un numero x (o analogamente se non esistono due numeri x diversi associati allo stesso numero y). È suriettiva se ogni y è associato ad almeno un numero x (o analogamente se non esistono numeri y che non siano associati ad alcun x).

Quindi una funzione iniettiva e suriettiva è una corrispondenza esatta tra gli elementi del dominio e del codominio (se scelgo x so chi è y, se scelgo y so chi è x); una funzione così è detta biunivoca.

Una funzione reale di variabile reale è una funzione ƒ : , essendo l'insieme dei numeri reali.

Il grafico di una funzione è l'insieme dei punti del piano P (x, y) per i quali y = ƒ(x). Normalmente l'insieme dei tali punti da luogo a linee dritte (come le rette, ottenute da funzioni di primo grado) o curve (come le parabole, ottenute da funzioni di II grado), a volte tutte unite, altre volte formate da più parti (detti rami).

Esempio 1. Consideriamo la funzione:

ƒ(x) = x² − 9

e calcoliamo le immagini dei seguenti valori di x: 0, 2, 3, 5, 0.5, −1, −4, usando la tabella seguente:

x ƒ(x) = x² − 9 y
0 (0)² − 9 9
2 (2)² − 9 −5
3 (3)² − 9 0
5 (5)² − 9 16
0.5 (0.5)² − 9 −8.75
−1 (−1)² − 9 −8
−4 (−4)² − 9 7

Ogni coppia corrisponde ad un punto del grafico della funzione. Rappresentando i punti sul piano cartesiano possiamo avere un'idea di come sarà il grafico della funzione, tenendo conto che i punti saranno percorsi partendo da quello più a sinistra a quello più a destra, ossia per valori di x crescenti.

Abbiamo ottenuto i seguenti punti, scritti in ordine per x crescenti:
A (−4;7), B (−1; −8), C (0;9), D (0.5;−8.75), E (2;−5), F (3;0), G (5;16).

Se vogliamo quindi trovare punti del grafico di una funzione, possiamo scegliere alcuni valori per la x e, sostituendoli nella funzione, calcolare le corrispondenti immagini, da assegnare alle y, come nell'esempio precedente.

Condizione di appartenenza

Per stabilire se un punto del piano appartiene al grafico di una funzione, è sufficiente verificare se la sua y corrisponda all'immagine della sua x, tramite la funzione.

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Lo studio di una funzione


Lo studio analitico di una funzione consiste nel capire le diverse proprietà di tale funzione, in modo tale da riuscire a costruire un grafico qualitativo sul piano cartesiano; uno studio completo di una funzione comprende i seguenti punti:

  • Classificazione della funzione: una funzione può esser algebrica o trascendente, razionale o irrazionale, intera o fratta.
  • Studio del Dominio: capire quali valori poter assegnare alla variabile x, in base alle condizioni d'esistenza della funzione, e quindi evidenziare nel piano cartesiano le zone non ammissibili.
  • Studio delle proprietà: verificare se la funzione sia pari, dispari, iniettiva, suriettiva, biunivoca.
  • Studio del Codominio o Campo di Variabilità: determinare i possibili risultati della funzione, ossia l'insieme delle immagini.
  • Ricerca di eventuali intersezioni con gli assi cartesiani: mettendo a sistema l'equazione della funzione y = ƒ(x) con l'equazione dell'asse x (y = 0) e poi con l'equazione dell'asse y (x = 0).
  • Studio del segno della funzione: risolvendo la disequazione ƒ(x) > 0 ed cancellare dal piano cartesiano le zone non raggiunte dalla funzione.
  • Studio dei limiti nei punti di discontinuità per rilevare la presenza di zone di salto o di asintoti verticali.
  • Studio dei limiti all'infinito per rilevare la presenza di asintoti orizzontali o obliqui.
  • Calcolo della derivata prima della funzione ƒ '(x) mediante le opportune regole di derivazione.
  • Ricerca di eventuali punti stazionari cercando gli zeri della derivata prima, ossia risolvendo l'equazione ƒ '(x) = 0.
  • Studio del segno della della derivata prima: si risolve la disequazione ƒ '(x) > 0 per individuare gli intervalli di monotonia e trovare eventuali massimi, minimi e flessi a tangente orizzontale.
  • Calcolo della derivata seconda ƒ"(x) applicando nuovamente le regole di derivazione alla funzione derivata prima.
  • Ricerca di eventuali punti angolosi, di cuspide o flessi a tangente verticale, studiando i punti in cui la derivata seconda non è definita.
  • Ricerca di eventuali punti di flesso a tangente obliqua cercando gli zeri della derivata seconda che non siano punti stazionari, risolvendo l'equazione ƒ"(x) = 0.
  • Rappresentazione grafica: si cerca di ipotizzare l'andamento grafico della funzione sulla base dei risultati trovati nei punti precendenti.
  • Calcolo della funzione primitiva: si studia l'integrale indefinito della funzione.
  • Studio dell'integrale finito in determinati intervalli per calcolare aree o volumi di figure ottenute dalla funzione iniziale.

Spesso tuttavia è richiesto uno studio meno approfondito; i punti che tuttavia non devono esser trascurati sono:

  • Studio del Dominio.
  • Ricerca di eventuali intersezioni con gli assi cartesiani.
  • Studio del segno della funzione
  • Studio dei limiti e ricerca di eventuali asintoti.
  • Calcolo della derivata prima e ricerca di eventuali punti stazionari.
  • Rappresentazione grafica.

Nelle pagine seguenti vengono spiegati i primi passaggi fondamentali, ossia lo studio del Dominio, delle intersezioni e del segno di una funzione.
Per quanto riguarda le regole per il calcolo della derivata e la ricerca di punti stazionari, potete visitare le pagine dedicate alle derivate.

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