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Introduzione - Dominio - Intersezioni - Segno

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Il concetto di funzione


Una relazione R tra due insiemi A e B è una regola che associa alcuni elementi x dell'insieme A con alcuni elementi y dell'insieme B; non sempre ogni elemento di un insieme è associato ad un elemento dell'altro insieme, e la relazione a volte non è reciproca.
Se R associa x di A con y di B, si può scrivere x R y, oppure (x, y) ∈ R. Se R associa ogni elemento di A con ogni elemento di B allora R corrisponde all'insieme di tutti i possibili accoppiamenti tra x e y, chiamato prodotto cartesiano tra A e B, e identificato con A × B. In generale R è un sottoinsieme di A × B.

Una funzione tra A e B è una particolare relazione ƒ tra gli insiemi A e B, indicata con

ƒ : A → B

che ha le seguenti proprietà:

  • ogni elemento x di A ha sempre un elemento associato in B;
  • ogni elemento x di A non può essere associato a due elementi diversi di B.

L'insieme A è chiamato dominio della funzione, B è codominio della funzione; si può riassumere dicendo che:

ogni elemento x del dominio A è in relazione con uno ed esattamente un solo elemento y del codominio B.

Se un elemento y del codominio corrisponde ad un elemento x del dominio, si dice che y è l'immagine di x. Può accadere anche che esistano elementi di B che non stiano in relazione con alcun elemento di A, o che al contrario che stiano in relazione con diversi elementi di A.
In parole povere: se scegliamo un x, automaticamente è deciso chi è la sua immagine y, ma se al contrario scegliamo un y possiamo avere problemi a decidere di quale x sia immagine (o perché non ce n'è nessuno o perché ce ne sono troppi).

Se due numeri reali x ed y sono in relazione per la funzione ƒ, ossia se y è immagine di x, si scrive:

y = ƒ(x)

x è detta varabile indipendente, y è detta varabile dipendente.

Una funzione è iniettiva se ogni y è associato non più di un numero x (o analogamente se non esistono due numeri x diversi associati allo stesso numero y). È suriettiva se ogni y è associato ad almeno un numero x (o analogamente se non esistono numeri y che non siano associati ad alcun x).

Quindi una funzione iniettiva e suriettiva è una corrispondenza esatta tra gli elementi del dominio e del codominio (se scelgo x so chi è y, se scelgo y so chi è x); una funzione così è detta biunivoca.

Una funzione reale di variabile reale è una funzione ƒ : , essendo l'insieme dei numeri reali.

Il grafico di una funzione è l'insieme dei punti del piano P (x, y) per i quali y = ƒ(x). Normalmente l'insieme dei tali punti da luogo a linee dritte (come le rette, ottenute da funzioni di primo grado) o curve (come le parabole, ottenute da funzioni di II grado), a volte tutte unite, altre volte formate da più parti (detti rami).

Esempio 1. Consideriamo la funzione:

ƒ(x) = x² − 9

e calcoliamo le immagini dei seguenti valori di x: 0, 2, 3, 5, 0.5, −1, −4, usando la tabella seguente:

x ƒ(x) = x² − 9 y
0 (0)² − 9 9
2 (2)² − 9 −5
3 (3)² − 9 0
5 (5)² − 9 16
0.5 (0.5)² − 9 −8.75
−1 (−1)² − 9 −8
−4 (−4)² − 9 7

Ogni coppia corrisponde ad un punto del grafico della funzione. Rappresentando i punti sul piano cartesiano possiamo avere un'idea di come sarà il grafico della funzione, tenendo conto che i punti saranno percorsi partendo da quello più a sinistra a quello più a destra, ossia per valori di x crescenti.

Abbiamo ottenuto i seguenti punti, scritti in ordine per x crescenti:
A (−4;7), B (−1; −8), C (0;9), D (0.5;−8.75), E (2;−5), F (3;0), G (5;16).

Se vogliamo quindi trovare punti del grafico di una funzione, possiamo scegliere alcuni valori per la x e, sostituendoli nella funzione, calcolare le corrispondenti immagini, da assegnare alle y, come nell'esempio precedente.

Condizione di appartenenza

Per stabilire se un punto del piano appartiene al grafico di una funzione, è sufficiente verificare se la sua y corrisponda all'immagine della sua x, tramite la funzione.

Lo studio di una funzione


Lo studio analitico di una funzione consiste nel capire le diverse proprietà di tale funzione, in modo tale da riuscire a costruire un grafico qualitativo sul piano cartesiano; uno studio completo di una funzione comprende i seguenti punti:

  • Classificazione della funzione: una funzione può esser algebrica o trascendente, razionale o irrazionale, intera o fratta.
  • Studio del Dominio: capire quali valori poter assegnare alla variabile x, in base alle condizioni d'esistenza della funzione, e quindi evidenziare nel piano cartesiano le zone non ammissibili.
  • Studio delle proprietà: verificare se la funzione sia pari, dispari, iniettiva, suriettiva, biunivoca.
  • Studio del Codominio o Campo di Variabilità: determinare i possibili risultati della funzione, ossia l'insieme delle immagini.
  • Ricerca di eventuali intersezioni con gli assi cartesiani: mettendo a sistema l'equazione della funzione y = ƒ(x) con l'equazione dell'asse x (y = 0) e poi con l'equazione dell'asse y (x = 0).
  • Studio del segno della funzione: risolvendo la disequazione ƒ(x) > 0 ed cancellare dal piano cartesiano le zone non raggiunte dalla funzione.
  • Studio dei limiti nei punti di discontinuità per rilevare la presenza di zone di salto o di asintoti verticali.
  • Studio dei limiti all'infinito per rilevare la presenza di asintoti orizzontali o obliqui.
  • Calcolo della derivata prima della funzione ƒ '(x) mediante le opportune regole di derivazione.
  • Ricerca di eventuali punti stazionari cercando gli zeri della derivata prima, ossia risolvendo l'equazione ƒ '(x) = 0.
  • Studio del segno della della derivata prima: si risolve la disequazione ƒ '(x) > 0 per individuare gli intervalli di monotonia e trovare eventuali massimi, minimi e flessi a tangente orizzontale.
  • Calcolo della derivata seconda ƒ"(x) applicando nuovamente le regole di derivazione alla funzione derivata prima.
  • Ricerca di eventuali punti angolosi, di cuspide o flessi a tangente verticale, studiando i punti in cui la derivata seconda non è definita.
  • Ricerca di eventuali punti di flesso a tangente obliqua cercando gli zeri della derivata seconda che non siano punti stazionari, risolvendo l'equazione ƒ"(x) = 0.
  • Rappresentazione grafica: si cerca di ipotizzare l'andamento grafico della funzione sulla base dei risultati trovati nei punti precendenti.
  • Calcolo della funzione primitiva: si studia l'integrale indefinito della funzione.
  • Studio dell'integrale finito in determinati intervalli per calcolare aree o volumi di figure ottenute dalla funzione iniziale.

Spesso tuttavia è richiesto uno studio meno approfondito; i punti che tuttavia non devono esser trascurati sono:

  • Studio del Dominio.
  • Ricerca di eventuali intersezioni con gli assi cartesiani.
  • Studio del segno della funzione
  • Studio dei limiti e ricerca di eventuali asintoti.
  • Calcolo della derivata prima e ricerca di eventuali punti stazionari.
  • Rappresentazione grafica.

Nelle pagine seguenti vengono spiegati i primi passaggi fondamentali, ossia lo studio del Dominio, delle intersezioni e del segno di una funzione.
Per quanto riguarda le regole per il calcolo della derivata e la ricerca di punti stazionari, potete visitare le pagine dedicate alle derivate.


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