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CONTENUTO DELLA PAGINA
Il concetto di funzione
Lo studio di una funzione
Il concetto di funzione
Una relazione R tra due insiemi A e B è una regola che associa alcuni elementi x dell'insieme A con alcuni elementi y dell'insieme B; non sempre ogni elemento di un insieme è associato ad un elemento dell'altro insieme, e la relazione a volte non è reciproca.
Se R associa x di A con y di B, si può scrivere x R y, oppure (x, y) ∈ R. Se R associa ogni elemento di A con ogni elemento di B allora R corrisponde all'insieme di tutti i possibili accoppiamenti tra x e y, chiamato prodotto cartesiano tra A e B , e identificato con A × B. In generale R è un sottoinsieme di A × B.
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Una funzione tra A e B è una particolare relazione ƒ tra gli insiemi A e B, indicata con
ƒ : A → B
che ha le seguenti proprietà:
- ogni elemento x di A ha sempre un elemento associato in B;
- ogni elemento x di A non può essere associato a più di un elemento di B.
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Se f è una funzione, l'insieme A è chiamato Dominio della funzione e si indica con D, mentre B è Codominio e si indica con C della funzione e quindi si scrive:
ƒ : D → C
si può riassumere dicendo che:
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In una funzione ogni elemento x del Dominio D è in relazione sempre ed esattamente con un solo elemento y del Codominio C.
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Se un elemento y del Codominio corrisponde ad un elemento x del Dominio, si dice che y è l'immagine di x tramite la funzione e che viceversa x è controimmagine di y.
L'insieme di tutte le controimmagini coincide con il Dominio della funzione, mentre l'insieme di tutte le immagini di una funzione, chiamato anche insieme Immagine , è in genere un sottoinsieme del Codominio.
Può accadere infatti che esistano elementi di B che non stiano in relazione con alcun elemento di A, o che al contrario che stiano in relazione con diversi elementi di A. In parole povere: se scegliamo un valore per x, automaticamente è deciso chi è la sua immagine y, ma se al contrario scegliamo un valore per y possiamo avere problemi a decidere di quale x sia immagine (o perché non ce n'è nessuno o perché ce ne sono troppi).
Se due numeri reali x ed y sono in relazione per la funzione ƒ, ossia se y è immagine di x, si scrive:
e si dice che y è immagine di x tramite la funzione ƒ, o anche che il valore di y è in funzione del valore di x; per questo motivo x è detta varabile indipendente , y è detta varabile dipendente .
In queste pagine studieremo funzioni reali di variabile reale , ossia funzioni del tipo:
ƒ : ℝ → ℝ
essendo ℝ l'insieme dei numeri reali. In questo tipo di funzioni la corrispondenza tra x e y è descritta mediante un'espressione matematica nella variabile x e il risultato di tale espressione corrisponde all'immagine di x (e quindi la y) come vedremo nel prossimo esempio.
Il grafico di una funzione è l'insieme dei punti del piano P (x, y) per i quali y = ƒ(x). Normalmente l'insieme dei tali punti da luogo a linee dritte (come le rette, ottenute da funzioni di primo grado) o curve (come le parabole, ottenute da funzioni di II grado), a volte tutte unite, altre volte formate da più parti (detti rami).
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Esempio 1. Consideriamo la funzione:
ƒ(x) = x² − 9
e calcoliamo le immagini dei seguenti valori di x: 0, 2, 3, 5, 0.5, −1, −4.
Svolgimento. Usiamo una tabella per svolgere i calcoli:
| x |
ƒ(x) = x² − 9 |
y |
| 0 |
(0)² − 9 |
9 |
| 2 |
(2)² − 9 |
−5 |
| 3 |
(3)² − 9 |
0 |
| 5 |
(5)² − 9 |
16 |
| 0.5 |
(0.5)² − 9 |
−8.75 |
| −1 |
(−1)² − 9 |
−8 |
| −4 |
(−4)² − 9 |
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Ogni coppia corrisponde ad un punto del grafico della funzione. Rappresentando i punti sul piano cartesiano possiamo avere un'idea di come sarà il grafico della funzione, tenendo conto che i punti saranno percorsi partendo da quello più a sinistra a quello più a destra, ossia per valori di x crescenti.
Abbiamo ottenuto i seguenti punti, scritti in ordine per x crescenti:
A (−4;7), B (−1; −8), C (0;9), D (0.5;−8.75), E (2;−5), F (3;0), G (5;16).
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Se vogliamo quindi trovare punti del grafico di una funzione, possiamo scegliere alcuni valori per la x e, sostituendoli nella funzione, calcolare le corrispondenti immagini, da assegnare alle y, come nell'esempio precedente.
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Condizione di appartenenza
Per stabilire se un punto del piano appartiene al grafico di una funzione, è sufficiente verificare se la sua y corrisponda all'immagine della sua x, tramite la funzione.
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Lo studio di una funzione
Lo studio analitico di una funzione consiste nel capire le diverse proprietà di tale funzione, in modo tale da riuscire a costruire un grafico qualitativo sul piano cartesiano; uno studio completo di una funzione comprende i seguenti punti:
- Classificazione della funzione: una funzione può esser algebrica o trascendente, razionale o irrazionale, intera o fratta.
- Studio del Dominio: capire quali valori poter assegnare alla variabile x, in base alle condizioni d'esistenza della funzione, e quindi evidenziare nel piano cartesiano le zone non ammissibili.
- Studio delle proprietà: verificare se la funzione è iniettiva, suriettiva, biunivoca, pari, dispari.
- Studio del Codominio: determinare i possibili risultati della funzione e l'insieme Immagine della funzione.
- Ricerca di eventuali intersezioni con gli assi cartesiani: mettendo a sistema l'equazione della funzione y = ƒ(x) con l'equazione dell'asse x (y = 0) e poi con l'equazione dell'asse y (x = 0).
- Studio del segno della funzione: risolvendo la disequazione ƒ(x) > 0 ed cancellare dal piano cartesiano le zone non raggiunte dalla funzione.
- Studio dei limiti nei punti di discontinuità per rilevare la presenza di zone di salto o di asintoti verticali.
- Studio dei limiti all'infinito per rilevare la presenza di asintoti orizzontali o obliqui.
- Calcolo della derivata prima della funzione ƒ '(x) mediante le opportune regole di derivazione.
- Ricerca di eventuali punti stazionari cercando gli zeri della derivata prima, ossia risolvendo l'equazione ƒ '(x) = 0.
- Studio del segno della della derivata prima: si risolve la disequazione ƒ '(x) > 0 per individuare gli intervalli di monotonia e trovare eventuali massimi, minimi e flessi a tangente orizzontale.
- Calcolo della derivata seconda ƒ"(x) applicando nuovamente le regole di derivazione alla funzione derivata prima.
- Ricerca di eventuali punti angolosi, di cuspide o flessi a tangente verticale, studiando i punti in cui la derivata seconda non è definita.
- Ricerca di eventuali punti di flesso a tangente obliqua cercando gli zeri della derivata seconda che non siano punti stazionari, risolvendo l'equazione ƒ"(x) = 0.
- Rappresentazione grafica: si cerca di ipotizzare l'andamento grafico della funzione sulla base dei risultati trovati nei punti precendenti.
- Calcolo della funzione primitiva: si studia l'integrale indefinito della funzione.
- Studio dell'integrale definito in determinati intervalli per calcolare aree o volumi di figure ottenute dalla funzione iniziale.
Spesso tuttavia è richiesto uno studio meno approfondito, per cui non sempre è necessario analizzare tutti questi punti; i punti che tuttavia non devono esser trascurati sono:
- Studio del Dominio.
- Ricerca di eventuali intersezioni con gli assi cartesiani.
- Studio del segno della funzione
- Studio dei limiti e ricerca di eventuali asintoti.
- Calcolo della derivata prima e ricerca di eventuali punti stazionari.
- Rappresentazione grafica.
Nelle pagine seguenti vengono spiegati i primi passaggi fondamentali, ossia lo studio del Dominio, delle intersezioni e del segno di una funzione.
Per quanto riguarda gli ulteriori passi, potete visitare le pagine dedicate allo studio dei limiti e quello delle derivate.
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