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Introduzione - Dominio - Intersezioni - Segno

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Le condizioni di esistenza


Lo studio del Dominio di una funzione parte dal controllo delle condizioni di esistenza (abbreviate c.e.).
In alcune espressioni è necessario porre tali condizioni, ossia delle limitazioni ai valori che può assumere l'incognita x, per evitare di trovarsi a fare calcoli impossibili (non difficili, ma impossibili).

Tali condizioni sono fondamentali per lo studio della funzione, e condizionano tutti i passaggi successivi.

In generale possiamo riassumere le c.e. in 4 casi principali:

  1. ogni volta che nella funzione compare una frazione, se al denominatore compare l'incognita, si deve imporre che il denominatore sia diverso da zero.
  2. ogni volta che nella funzione compare una radice con indice pari, se nel radicando compare l'incognita, si deve imporre che il radicando sia maggiore o uguale di zero.
  3. ogni volta che nella funzione compare un esponenziale o un logaritmo, se nella base compare l'incognita, si deve imporre che la base sia maggiore di zero e diversa da uno.
  4. ogni volta che nella funzione compare una logaritmo, se nell'argomento compare l'incognita, si deve imporre che l'argomento sia maggiore di zero.

Come casi particolari abbiamo le funzioni goniometriche tangente, cotangente, secante e cosecante, che rientrano nel primo caso, in quanto definite come frazioni delle funzioni seno e coseno.

  1. ogni volta che nella funzione compare una tangente o una secante, se nell'argomento compare l'incognita, si deve imporre che l'argomento sia diverso da π ⁄ 2 + 2kπ per qualunque k intero.
  2. ogni volta che nella funzione compare una cotangente o una cosecante, se nell'argomento compare l'incognita, si deve imporre che l'argomento sia diverso da 2kπ per qualunque k intero.

Se nella funzione non compare alcuna di queste situazioni, allora non è necessario porre condizioni di esistenza per la funzione.
Se al contrario compaiono più situazioni contemporaneamente, è necessario uno studio separato di ogni situazione, per poter ricavare delle condizioni globali che accontentino ogni singola condizione.

Classificazione delle c.e.


Ecco uno schema semplice di come applicare le c.e. alle varie funzioni elementari.

funzione esempio condizione
costante 5 nessuna
polinomio 3 x² − 10 x + 3 nessuna
valore assoluto | x + 12 | nessuna
frazione 5x³ + 8x
6x − 12
6x − 12 ≠ 0
esponenziale 2 x + 7 nessuna
logaritmo log3 (x² − 4) x² − 4 > 0
radice ind. pari 8 − x 8 − x ≥ 0
radice ind. dispari 58 − x nessuna
seno sen (2x − π) nessuna
coseno cos (x + π ⁄ 2) nessuna
tangente tan (8x) 8x ≠ π ⁄ 2 + 2kπ
cotangente cot (2x − π ⁄ 4) 2x − π ⁄ 4 ≠ 2kπ
secante sec (3x) 3x ≠ π ⁄ 2 + 2kπ
cosecante cosec (x + 3π) x + 3π ≠ 2kπ

Ogni condizione posta deve esser poi studiata algebricamente: si studia l'equazione associata a tale condizione, e poi si ricava la soluzione ragionando sulla richiesta iniziale.
In alcuni casi la condizione di esistenza da luogo ad un'equazione impossibile; in tal caso è molto facile verificare se la richiesta sia verificata: in caso affermativo non vi sono c.e. e il Domio è tutto ℝ, in caso contrario la condizione è totate e il Dominio è vuoto.

Rappresentazione del Dominio


Una volta ottenute le corrette c.e., per rappresentare il Dominio si possono usare due metodi:

  • per caratteristica, descrivendo in modo algebrico, all'interno di parentesi graffe, quali valori può assumere l'incognita x, sulla base delle c.e.
    Nel caso non ci siano condizioni, x può assumere qualunque valore reale, e si scrive: D = { ∀x∈ℝ };
    Nel caso vi siano c.e., possono essere inserite in fondo nella parentesi, come specificazione; se vi sono più condizioni, vengono collegate con il simbolo di congiunzione logica ∧.
  • per intervalli, elencando gli intervalli di tutti i valori ammissibili che può assumere l'incognita x da −∞ a +∞, racchiusi all'interno di parentesi tonde o quadre: in particolare se l'estremo di un intervallo è compreso nel Dominio, usiamo la quadra, se invece non è compreso usiamo la tonda (ovviamente ∞ non è mai compreso); nel caso infine che ci siano più intervalli, vengono collegati con il simbolo di unione ∪.

Nel piano cartesiano è opportuno segnalare le eventuali limitazioni ottenute nel Dominio; in genere per convenzione si opera nel seguente modo:

  • segnando una retta verticale unita in corrispondenza di ogni valore che nel Dominio compare con un diverso (≠), un maggiore (>) o un minore (<);
  • segnando una retta verticale tratteggiata in corrispondenza di ogni valore che nel Dominio compare con un maggiore o uguale (≥) o un minore o uguale (≤);
  • cancellando tutte le zone corrispondenti ai valori delle x escluse dal dominio da segni di maggiore (>), maggiore (≥) o uguale, minore (<), minore o uguale (≤).

Esempio 2. Determiniamo il Dominio della seguente funzione:

ƒ(x) = (x² + 4x + 3) ⁄ (x³ − 5x² + 4x)

Essendo una funzione fratta, dobbiamo porre la condizione che il denominatore sia diverso da zero:

x³ − 5x² + 4x ≠ 0

Risolviamo l'equazione associata; essendo di terzo grado, conviene scomporre in fattori:

x³ − 5x² + 4x = 0

x (x² − 5x + 4) = 0

x (x − 1) (x − 4) = 0

Applicando la legge d'annullamento del prodotto, otteniamo le 3 seguenti soluzioni:

x = 0   ∨   x = 1   ∨   x = 4

Tali valori annullano il denominatore; dal momento che la condizione è che il denominatore sia diverso da zero, la x potrà assumere ogni valore reale, ad eccezione di questi tre elencati sopra.
Di conseguenza il dominio può esser scritto:

D = { ∀x∈ : x≠0 ∧ x≠1 ∧ x≠4 }

Se vogliamo scrivere il Dominio sotto forma di intervalli, allora scriviamo:

D = (−∞; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; 4) ∪ (4; ∞)

Le due scritture sono equivalenti.

Nel piano cartesiano è sufficiente a questo punto segnare 3 rette verticali unite, una in corrispondenza di x = 0, una per x = 1 e una per x = 4.


Esempio 3. Determiniamo il Dominio della seguente funzione:

ƒ(x) = √x² − 9 + 1 ⁄ (x − 1)

Essendo una funzione irrazionale e fratta, dobbiamo porre le seguenti condizioni:

  1. c.e. per la radice:   x² − 9 ≥ 0
  2. c.e. per la frazione:   x − 1 ≠ 0

Risolviamo la prima condizione (per la radice), studiando l'equazione associata:

x² − 9 = 0

(x − 3) (x + 3) = 0

x = 3   ∨   x = − 3

Dal momento che tale condizione è costituita da una disequazione, dobbiamo studiare il segno di tale espressione (essendo di II grado si può fare con la parabola, con la tabella dei segni, o con la regola della concordanza). Il risultato è:

x ≤ − 3   ∨   x ≥ 3

Risolviamo la seconda condizione (per la frazione), studiando l'equazione associata:

x − 1 = 0

x = 1

Di conseguenza la condizione che ne risulta è:

x ≠ 1

Studiando le condizioni, ci si accorge la condizione x ≠ 1 è superflua, in quanto implicata dalla c.e. della radice, che è più forte.
Di conseguenza il Dominio è:

D = { ∀x∈ : x ≤ − 3 ∨ x ≥ 3 }

O analogamente:

D = (−∞; −3] ∪ [+3; +∞)

Da osservare l'uso delle parentesi quadre in corrispondenza degli estremi −3 e +3, in quanto sono compresi nel Dominio.

Nel piano cartesiano è sufficiente a questo punto segnare 2 rette verticali tratteggiate, una in corrispondenza di x = −3, una per x = +3, e quindi cancellare tutta la zona compresa tra le due rette.


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