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Introduzione - Regole di derivazione - Derivabilità - Punti stazionari

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Il rapporto incrementale


Il rapporto incrementale è il rapporto tra gli incrementi delle variabili, ossia quanto varia la y e quanto varia la x in una curva nel piano cartesiano: Δy / Δx;.
Studiamo una funzione ƒ in un suo punto x₀; la sua immagine è y₀ = ƒ(x₀). Per capire come varia tale funzione, ci spostiamo da x₀ ad un suo punto vicino, x₁ = x₀ + h; l'immagine di questo punto corrisponde a y₁ = ƒ(x₀ + h). Di conseguenza:
Δy = y₁ − y₀ = ƒ(x₀ + h) − ƒ(x₀)
Δx = x₁ − x₀ = h.

Possiamo quindi definire:

Il rapporto incrementale di una funzione ƒ tra un punto A(x₀; ƒ(x₀)) e un punto B(x₁; ƒ(x₁)) è l'espressione:

ƒ(x₀ + h) − ƒ(x₀)
———————
h

essendo h la differenza tra x₁ e x₀.

Il rapporto incrementale è molto utile perché coorisponde al coefficiente angolare della retta che passa per i due punti assegnati, quindi ci dà indicazioni sull'andamento della funzione (come in fisica avviene quando calcoliamo la velocità media).
Se vogliamo avere un risultato più accurato, dobbiamo far sì che i punti A e B siano molto vicini tra loro, ossia che la differenza h sia molto piccola, addirittura infinitesima. In situazioni di questo tipo sia Δx, sia Δy si avvicinano a 0, quindi si ottiene una forma indeterminata 0 / 0... è necessario studiare il limite del rapporto incrementale, per h → 0.
Molto spesso risolvendo la forma indeterminata ottenuta, si arriva ad un valore finito.

Il concetto di derivata


Se il limite del rapporto incrementale esiste ed è un numero reale finito, allora:

Il limite del rapporto incrementale di una funzione ƒ in un suo punto x₀, per h → 0, si chiama derivata prima della funzione ƒ nel punto x₀.

                    ƒ(x₀ + h) − ƒ(x₀)
ƒ ' (x₀) = lim   —————— 
  h → 0         h

Tale valore corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto x = x₀.

Di conseguenza la derivata in un punto ci dice la pendenza della curva in quel punto.
Se al contrario se il limite non esiste o è ∞, allora la derivata non è definita in quel punto.

Esempio 1. Consideriamo la funzione ƒ (x) = x² − 1, rappresentata nel piano dall'equazione: y = x² − 1 (una parabola).

I valori della funzione sono:
ƒ (x₀) = x₀² − 1
ƒ (x₀ + h) = (x₀ + h)² − 1
Quindi il rapporto incrementale vale:

(x₀ + h)² − 1 − (x₀² − 1)
——————————
h

Svolgendo i calcoli e semplificando si ottiene che il rapporto incrementale è 2x + h.
Facendo il limite per h → 0 si ottiene 2x.

Quindi la derivata di ƒ per un generico valore x è ƒ ' (x) = 2x; ad esempio nel punto x = 3 la derivata vale 6.

Esistono delle formule che ci consentono di calcolare la derivata in un punto generico di una funzione, senza fare lo studio del limite: si parte dallo studio della derivata di funzioni semplici e si esamina cosa succede alla derivata componendo tra loro più funzioni.


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