Inizio News DERIVATE Info

★ ★ ☆

Introduzione - Regole di derivazione - Derivabilità - Punti stazionari

<<< Precedente   -   Successivo >>>

Punti di derivabilità


Una funzione è derivabile in un punto x₀ se:

  • x₀ appartiene al dominio della funzione e della derivata;
  • la funzione è continua in x₀;
  • la derivata prima è continua in x₀.

Di conseguenza vale il teorema:

Funzione derivabile ⇒ Funzione continua.

Il campo di derivabilità è l'insieme dei punti in cui la funzione è derivabile. I punti in cui la funzione è continua ma non è derivabile si chiamano punti di non derivabilità.

Graficamente un funzione derivabile è una funzione che curva senza piegarsi o andare in verticale.

Punti di non derivabilità


I punti di non derivabilità sono punti in cui la funzione è continua, ma non derivabile; essi si suddividono in 3 tipi, al variare del comportamente del rapporto incrementale:

  1. punto angoloso – se il limite da sinistra del rapporto incrementale è diverso da quello da destra, e almenno uno dei due è un numero reale finito;
  2. cuspide – se il limite da sinistra e da destra del rapporto incrementale è valgono entrambi infinito, ma con segno opposto.
  3. flesso a tangente verticale – se il limite da sinistra e da destra del rapporto incrementale è valgono entrambi infinito, e con segno uguale.

Esempio 2. Consideriamo la funzione ƒ (x) = ³√x. Il Dominio della funzione è tutto poiché la radice ha indice dispari.
La derivata è:

ƒ '(x) = 1 ⁄ (3· ³√).

Essendo una frazione, le c.e. impongono che x sia diverso da zero; di conseguenza la funzione iniziale è derivabile per tutti i valori di x, eccetto per x = 0 è: esso un punto del Dominio della funzione, ma nel quale la funzione non è derivabile.
Calcoliamo i limiti da sinistra e da destra della derivata, per x → 0.

se x → 0⁻   lim ƒ '(x) = + ∞

se x → 0⁺   lim ƒ '(x) = + ∞

Osserviamo che i limiti valgono entrambi + ∞, quindi in x = 0 la funzione possiede un flesso a tangente verticale.


^
Torna su


<<< Precedente   -   Successivo >>>