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Punti di derivabilità
Una funzione è derivabile in un punto x₀ se:
- x₀ appartiene al dominio della funzione e della derivata;
- la funzione è continua in x₀;
- la derivata prima è continua in x₀.
Di conseguenza vale il teorema:
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Funzione derivabile ⇒ Funzione continua.
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Il campo di derivabilità è l'insieme dei punti in cui la funzione è derivabile. I punti in cui la funzione è continua ma non è derivabile si chiamano punti di non derivabilità.
Graficamente un funzione derivabile è una funzione che curva senza piegarsi o andare in verticale.
Punti di non derivabilità
I punti di non derivabilità sono punti in cui la funzione è continua, ma non derivabile; essi si suddividono in 3 tipi, al variare del comportamente del rapporto incrementale:
punto angoloso – se il limite da sinistra del rapporto incrementale è diverso da quello da destra, e almenno uno dei due è un numero reale finito;
cuspide – se il limite da sinistra e da destra del rapporto incrementale è valgono entrambi infinito, ma con segno opposto.
flesso a tangente verticale – se il limite da sinistra e da destra del rapporto incrementale è valgono entrambi infinito, e con segno uguale.
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Esempio 3. Consideriamo la funzione ƒ (x) = ³√x. Il Dominio della funzione è tutto ℝ poiché la radice ha indice dispari.
La derivata è:
ƒ '(x) = 1 ⁄ (3· ³√x²).
Essendo una frazione, le c.e. impongono che x sia diverso da zero; di conseguenza la funzione iniziale è derivabile per tutti i valori di x, eccetto per x = 0 è: esso un punto del Dominio della funzione, ma nel quale la funzione non è derivabile.
Calcoliamo i limiti da sinistra e da destra della derivata, per x → 0.
se x → 0⁻ lim ƒ '(x) = + ∞
se x → 0⁺ lim ƒ '(x) = + ∞
Osserviamo che i limiti valgono entrambi + ∞, quindi in x = 0 la funzione possiede un flesso a tangente verticale.
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