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Introduzione - Regole di derivazione - Derivabilità - Punti stazionari

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Punti di derivabilità


Una funzione è derivabile in un punto x₀ se:

  • x₀ appartiene al dominio della funzione e della derivata;
  • la funzione è continua in x₀;
  • la derivata prima è continua in x₀.

Il campo di derivabilità è l'insieme dei punti in cui la funzione è derivabile. I punti in cui la funzione è se il campo di derivabilità è un determinato insieme A, allora per semplicità diciamo che la funzione è derivabile in A.
Di conseguenza vale il teorema:

Funzione derivabile   ⇒   Funzione continua.

Al contrario possono esistere punti in cui la funzione è continua ma non è derivabile; essi si chiamano punti di non derivabilità.

Graficamente un funzione derivabile è una funzione che curva senza piegarsi o andare in verticale.

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Punti di non derivabilità


I punti di non derivabilità sono punti in cui la funzione è continua, ma non derivabile; essi si suddividono in 3 tipi, al variare del comportamente del rapporto incrementale:

  1. punto angoloso – se il limite da sinistra del rapporto incrementale è diverso da quello da destra, e almenno uno dei due è un numero reale finito;
  2. cuspide – se il limite da sinistra e da destra del rapporto incrementale è valgono entrambi infinito, ma con segno opposto.
  3. flesso a tangente verticale – se il limite da sinistra e da destra del rapporto incrementale è valgono entrambi infinito, e con segno uguale.

Esempio 3. Studiamo i punti di non derivabilità della funzione:

ƒ (x) = ³√x

Svolgimento. Il Dominio della funzione è tutto poiché la radice ha indice dispari.
Svolgendo i calcoli, si ottiene che la derivata è:

ƒ '(x) =
1
3

Essendo una frazione, le c.e. impongono che il denominatore sia diverso da zero (tale condizione viene aggiunta alle eventuali condizioni di esistenza).
Di conseguenza la funzione iniziale è derivabile per ogni x, eccetto x = 0: tale punto è appartiene al Dominio della funzione, ma nel quale la funzione non è derivabile.

Calcoliamo i limiti da sinistra e da destra della derivata, per x → 0.

se x → 0⁻   lim ƒ '(x) = + ∞

se x → 0⁺   lim ƒ '(x) = + ∞

Conclusione: osserviamo che i limiti valgono entrambi + ∞, quindi in x = 0 la funzione possiede un flesso a tangente verticale.


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