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Introduzione - Regole di derivazione - Derivabilità - Punti stazionari

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Punti stazionari


Si chiamano punti stazionari quei punti in cui la funzione ha la tangente orizzontale. Più precisamente:

Un punto stazionario è un punto in cui la funzione è continua e derivabile, e in cui la derivata prima vale zero.

Quindi per individuare i punti stazionari, è necessario trovare i punti che verificano l'equazione:

ƒ ' (x) = 0

Esempio 3 – I parte. Consideriamo la funzione ƒ (x) = x³ − 3x. Il Dominio della funzione è tutto poiché la funzione è polinomiale.
La derivata è:

ƒ '(x) = 3x² − 3

Troviamo quindi gli zeri della derivata, risolvendo l'equazione associata:

3x² − 3 = 0

3(x − 1)(x + 1) = 0

Le soluzioni sono x = +1 e x = −1; sostituendo nella funzione i valori trovati, otteniamo i punti: A (+1; −2) e B(−1; +2). Tali punti sono i punti stazionari della funzione.

Gli intervalli di monotonia


Una funzione è crescente se all'aumentare delle x aumentano anche le immagini corrispondenti; in particolare:

crescente in senso stretto:   x₁ < x₂   ⇒   ƒ(x₁) < ƒ(x₂)

crescente in senso largo:   x₁ < x₂   ⇒   ƒ(x₁) ≤ ƒ(x₂)

Al contrario è decrescente se all'aumentare delle x diminuiscono le immagini corrispondenti, in particolare:

decrescente in senso stretto:   x₁ < x₂   ⇒   ƒ(x₁) > ƒ(x₂)

decrescente in senso largo:   x₁ < x₂   ⇒   ƒ(x₁) ≥ ƒ(x₂)

Le funzioni crescenti e decrescenti in senso stretto sono molto importanti poichè sono funzioni iniettive, e quindi biunivoche, per cui possono esser invertite.
In generale:

Una funzione è definita monotòna se è crescente o è descrescente (in senso stretto o largo).

Studiare gli intervalli di monotonia di una funzione qualunque, vuol dire determinare per quali intervalli delle x la funzione sia crescente e per quali sia decrescente
Tale studio può esser fatto studiando il segno della derivata prima, mediante la disequazione.

ƒ ' (x) > 0

Utilizzando la tabella per lo studio del segno (in modo simile alla funzione iniziale) con le seguenti considerazioni:

  • se ad un intervallo corrisponde un risultato positivo (+) allora in tale intervallo la funzione è crescente, e si scrive una freccia verso l'alto (↗)
  • se ad un intervallo corrisponde un risultato negativo (−) allora in tale intervallo la funzione è decrescente, e si scrive una freccia verso il basso (↘)

Esempio 3 – II parte. Consideriamo la funzione di prima ƒ (x) = x³ − 3x avente come derivata:

ƒ '(x) = 3x² − 3x

Studiamo il segno della derivata, risolvendo la disequazione:

3x² − 3x > 0

3(x − 1)(x + 1) > 0

Studiamo separatamente i tre fattori, quindi riportiamo i risultati nella tabella.

x :   −1   +1  
(3) + + + + +
(x−1) 0 + + +
(x+1) 0 +
ƒ '(x) + 0 0 +
ƒ (x)

Dalla tabella si osserva che la funzione sia crescente prima di −1 e dopo di 1, mentre sia decrescente tra −1.

Classificazione dei punti stazionari


I punti stazionari di una funzione possono esser di 4 tipi:

  • punto di massimo – se prima di esso la funzione è crescente (↗) e dopo di esso è decrescente (↘). Un punto di minimo ha la y minore di quelle di tutti i punti vicini della funzione.
  • punto di minimo – se prima di esso la funzione è decrescente (↘) e dopo di esso è crescente (↗). Un punto di massimo ha la y maggiore di quelle di tutti i punti vicini della funzione.
  • flesso ascendente a tangente orizzontale – se prima di esso e dopo di esso la funzione è crescente (↗).
  • flesso discendente a tangente orizzontale – se prima di esso e dopo di esso la funzione è decrescente (↘).

Esempio 4. Consideriamo la funzione ƒ (x) = x² − 4x + 3. Tale funzione rappresenta una parabola, il suo è tutto essendo una funzione polinomiale.
La derivata è:

ƒ '(x) = 2x − 4

Troviamo quindi gli zeri della derivata, risolvendo l'equazione associata:

2x − 4 = 0

2x = 4

x = 2

La soluzione è x = 2; sostituendo nella funzione il valore trovato, otteniamo il punto stazionario: A (+2; −1).

Con calcoli simili studiamo il segno della derivata, studiando la disequazione:

2x − 4 > 0

2x > 4

x > 2

Riportiamo i risultati nella tabella.

x :   +2  
ƒ '(x) 0 +
ƒ (x)

La funzione è decrescente prima di 2 e crescente dopo di 2, per cui il punto A (+2; −1) trovato prima è un punto di minimo.

Osservazione: questo risultato si accorda con un normale studio della parabola, in quanto il punto trovato non è altri che il vertice; essendo la parabola con la concavità verso l'alto (sorridente) è ovvio che il vertice sia un punto di minimo.


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