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Introduzione - Dominio - Intersezioni - Segno

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Studio del segno


Il segno di una funzione è il segno (più o meno) dell'immagine y = ƒ(x) di un valore x.

Esempio 6. Riprendiamo la funzione dell'esempio 1:

ƒ(x) = x² − 9

di cui abbiamo calcolato le immagini di alcuni valori di x; in base alla tabella costruita nel precedente esempio possiamo osservare che:
se x = −4, 0, 5, allora l'immagine (e quindi la funzione) è positiva;
se x = −1, ½, 2, allora l'immagine (e quindi la funzione) è negativa;
se x = 3 allora l'immagine è zero, quindi abbiamo un punto d'intersezione con l'asse x.

Se la funzione ha segno positivo (ƒ(x) > 0) allora il punto del grafico corrispondente si trova nel I o nel II quadrante, quindi sopra l'asse x.
Se al contrario la funzione ha segno negativo (ƒ(x) < 0) allora il punto del grafico corrispondente si trova nel III o nel IV quadrante, quindi sotto l'asse x.

Lo studio del segno consiste del determinare per quali valori di x, le immagini siano sopra l'asse delle x e per quali x siano sotto; lo svolgimento dello studio del segno consiste in due passi:

  1. studiare la disequazione ƒ(x) > 0 e sintetizzare il risultato utilizzando la tabella per lo studio del segno (vedi le regole sulle disequazioni);
  2. rappresentare i risultati ottenuti all'interno del piano cartesiano, cancellando le parti di piano (sopra o sotto l'asse x) non interessate dalla funzione.

Vediamo ora in dettaglio questi due passi.

I passo: studiare la disequazione ƒ(x) > 0

Lo studio di una disequazione dipende molto dal tipo di funzione; generalmente la funzione da studiare è un polinomio o una frazione, per cui è sufficiente scomporre in fattori e studiarli singolarmente, mettendo insieme i risultati in una tabella dei segni.
Nel caso particolare di disequazioni di I grado intere il risultato si può ottenere in pochi passaggi; nel caso di disequazioni di II grado intere possiamo ricorrere allo studio della parabola associata.

Esempio 7 – I parte. Studiamo il segno della funzione: ƒ(x) = x³ − 4x

Il Dominio di tale funzione è tutto l'insieme , per cui possiamo studiare direttamente la disequazione:

x³ − 4x > 0

Essendo un polinomio di III grado, proviamo a scomporre in fattori; raccogliamo x a fattor comune, quindi applichiamo la somma per differenza:

x (x² − 4) > 0

x (x − 2) (x + 2) > 0

Abbiamo ottenuto 3 fattori distinti, da studiare separatamente:

F1.   x > 0

F2.   x − 2 > 0   ⇒   x > 2

F3.   x + 2 > 0   ⇒   x > −2

Inseriamo i risultati parziali nella tabella per lo studio dei segni:

x :   −2   0   +2  
F1 0 + + +
F2 0 +
F3 0 + + + + +
ƒ(x) 0 + 0 0 +

Possiamo concludere che:

  • ƒ(x) > 0 se −2 < x < 0 oppure se x > 2;
  • ƒ(x) < 0 se x < −2 oppure se 0 < x < 2;

Esempio 8. Studiamo il segno della funzione:

ƒ(x) = (10 − 2x) ⁄ (log3 (x² − 4x + 3) − 1)

Il Dominio di tale funzione deve rispettare le seguenti c.e.:

  • per il logaritmo: x² − 4x + 3 > 0
  • per la frazione: log3 (x² − 4x + 3) − 1 ≠ 0

La prima si risolve studiando la parabola associata, ottenendo: x ≤ 1 ∨ x ≥ 3.
La seconda si risolve studiando l'equazione logaritmica associata, ottenendo: x = 0 ∨ x = 4.

D = { ∀x∈ : (x ≤ 1 ∨ x ≥ 3) ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 4 }

Facendo attenzione a tali condizioni, passiamo allo studio del segno della funzione, risolvendo la disequazione:

(2x + 10) ⁄ (log3 (x² − 4x + 3) − 1) > 0

Essendo una frazione, possiamo studiare separatamente numeratore e denominatore:

n.   10 − 2x > 0   ⇒   x < 5

d.   log3 (x² − 4x + 3) − 1 > 0

Il denominatore contiene un logaritmo, per cui dobbiamo studiare la disequazione logaritmica: applicando le proprietà dei logaritmi, tale disequazione si trasforma in:

log3 (x² − 4x + 3) > 1

x² − 4x + 3 > 3

x² − 4x > 0

Tale disequazione ci porta da altri due fattori:

d1.   x > 0

d2.   x > 4

Inseriamo i risultati parziali nella tabella per lo studio dei segni:

x :   0   4   5  
n + + + + + 0
d1 0 + + + + +
d2 0 + + +
ƒ(x) + 0 0 + 0

Controllando il Dominio, osserviamo che la funzione non è definita per 1 < x < 3; possiamo quindi concludere che:

  • ƒ(x) > 0 se x < 0 oppure se 4 < x < 5;
  • ƒ(x) < 0 se 0 < x < 1, se 3 < x < 4 oppure se x > 5;
  • ƒ(x) non esiste se 1 < x < 3 oppure se x = 0 o x = 4.

II passo: rappresentazione del Segno sul grafico

Possiamo trasferire i risultati ottenuti dalla tabella per lo studio del segno nel piano cartesiano: riportiamo i riferimenti sull'asse x, rispettando i vincolidel Dominio: linee verticali intere o tratteggiate, a seconda di come compaiono nel Dominio; ogni valore x che non compare esplicitamente nel Dominio (ma rispetta comunque le condizioni) avrà una riga verticale tratteggiata.

Abbiamo quindi diviso il piano cartesiano in fasce verticali; ad ogni fascia corrisponde un segno, secondo il risultato della tabella al passo precedente:

  • se ad una fascia corrisponde un risultato positivo (+) allora la funzione si troverà sopra l'asse delle x, e di conseguenza dobbiamo cancellare la zona inferiore;
  • se ad una fascia corrisponde un risultato negativo (−) allora la funzione si troverà sotto l'asse delle x, e di conseguenza dobbiamo cancellare la zona superiore.

Esempio 7 – II parte. Rappresentiamo nel piano cartesiano il segno della funzione ƒ(x) = x³ − 4x studiata prima.

Dobbiamo disegnare 3 righe verticali, in corrispondenza dei valori x 0 −2, x = 0, x = 2; essendo il Dominio tutto l'insieme , ogni riga verticale è tratteggiata.

A questo punto vediamo cosa segnare nel piano:

  • nella fascia più a sinistra, per x < −2, la funzione è negativa, quindi si trova sotto l'asse x: cancelliamo la zona superiore;
  • nella seconda fascia, per −2 < x < 0, la funzione è positiva, quindi si trova sopra l'asse x: cancelliamo la zona inferiore;
  • nella terza fascia, per 0 < x < 2, la funzione è negativa, quindi si trova sotto l'asse x: cancelliamo la zona superiore;
  • nell'ultima fascia, per x > 2, la funzione è positiva, quindi si trova sopra l'asse x: cancelliamo la zona inferiore.

Ecco il risultato che si ottiene (in grigio le zone cancellate):

segno della funzione
Figura 1

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