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Introduzione - Dominio - Proprietà - Altre proprietà - Intersezioni - Segno

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Funzioni iniettive


Come abbiamo visto, ogni funzione descrive una particolare relazione tra le x e le loro immagini f(x) e abbiamo visto che la proprietà principale di una funzione è che ogni x ha la propria immagine; tuttavia da un'immagine non sempre possiamo risalire ad un'unica x.
Le funzioni iniettive sono funzioni molto particolare, la cui caratteristica è non presentare ambiguità in entrambi i versi.

Una funzione è iniettiva se ogni y è immagine di al massimo una x.

x₁ ≠ x₂   ⇒   f(x₁) ≠ f(x₂)

In una funzione iniettiva, ad ogni y corrisponde quindi al massimo una sola controimmagine x: se troviamo due x diverse che hanno la stessa immagine (quindi che portano allo stesso risultato), allora la funzione non è iniettiva.

Per verificare che una funzione sia o meno iniettiva, possiamo:

  • cercare diversi valori per la x che abbiano la stessa immagine;
  • provare ad invertire la funzione, esplicitando la x in funzione di y, e vedento se otteniamo più soluzioni;
  • uguagliare due generiche immagini f(x₁) = f(x₂).

Il primo metodo è utile per verificare che una funzione non sia iniettiva, ma non serve a nulla se vogliamo verificare il contrario; gli altri due metodi sono molto simili tra loro, e consistono nel considerare delle x generiche e, svolgendo i passaggi come in un'equazione, studiare se possiamo trovare un'unica soluzione. In particolare il terzo metodo consiste nel arrivare ad ottenere una relazione diretta di uguaglianza tra x₁ e x₂; tuttavia a volte si possono ottenere anche altre relazioni (oltre a questa) e in tal caso la funzione non è iniettiva.

Dal punto di vista grafico, una funzione è iniettiva se, tagliata da rette orizzontali, non si ottengono mai contemporaneamente due i più intersezioni.

Esempio 4. Studiamo se sono iniettive le seguenti funzioni:

f(x)   =  
x + 1
x − 2
g(x)   =  
x² − 3x

Svolgimento. Studiamo separatamente le due funzioni.

♦ Partiamo dalla prima funzione, e uguagliamo due generiche immagini:

f(x₁) = f(₂)

x₁ + 1
x₁ − 2
  =  
x₂ + 1
x₂ − 2

Ponendo la condizione che le x siano diverse da 2 (per il Dominio) moltiplichiamo per entrambi i denominatori e poi svolgiamo i calcoli:

(x₁ + 1) (x₂ − 2) = (x₁ − 2) (x₂ + 1)

x₁ x₂ − 2x₁ + x₂ − 2 = x₁ x₂ − 2x₂ + x₁ − 2

Semplifichiamo i termini uguali che si trovano in entrambi i membri e spostiamo i rimanenti:

x₂ + 2x₂ = x₁ + 2x₁

3x₂ = 3x₁

x₂ = x₁

Abbiamo ottenuto, come unica soluzione, che le due x siano uguali; dal momento che non abbiamo altre soluzioni, la funzione è iniettiva.

♦ Passiamo ora alla seconda funzione, e anche qui uguagliamo due generiche immagini:

g(x₁) = g(x₂)

(x₁)² − 3x₁ = (x₂)² − 3x₂

Osserviamo che in questo caso non abbiamo termini da semplificare e, per poter andare avanti, la dobbiamo gestire come un'equazione di secondo grado, e risolverla in una delle due variabili, ad esempio x₁, considerando l'altra come un numero. Possiamo scomporre in fattori (non sempre semplice) o applicare la formula risolutiva: usiamo questa seconda via.

(x₁)² − 3x₁ − (x₂)² + 3x₂ = 0

x₁   =  
3 ± √ 9 − 4[−(x₂)² + 3x₂]
2
  =
    =  
3 ± √ 9 + 4(x₂)² − 12x₂
2
  =
    =  
3 ± √ (2x₂ − 3)²
2
  =
    =  
3 ± (2x₂ − 3)
2

Abbiamo ottenuto due soluzioni, che corrispondono a due possibili relazioni tra x₁ e x₂.

x₁ = x₂   ∨   x₁ = 3 − x₂

Quindi abbiamo ottenuto due diverse soluzioni, quindi la funzione non è iniettiva.

Conclusione: la funzione f(x) è iniettiva, la funzione g(x) non lo è.

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Funzioni suriettive


In modo analogo possiamo introdurre le funzioni suriettive: anche esse si occupano della corrispondenza tra x e y, ma in modo leggermente diverso.

Una funzione è suriettiva se ogni y possiede sempre almeno una controimmagine x.

∀ y   ∃ x :   y = f(x)

In una funzione suriettiva, ad ogni y corrisponde sempre quindi almeno una controimmagine x: se troviamo una y che non ha controimmagini, (quindi un risultato impossibile da ottenere), allora la funzione non è suriettiva.

Per verificare che una funzione sia o meno suriettiva, possiamo:

  • cercare valori della y che non abbiano controimmagine;
  • provare ad invertire la funzione, esplicitando la x in funzione di y, e vedento se otteniamo delle condizioni di esistenza per la y.

Anche in questo caso il primo metodo è utile per verificare che una funzione non sia suriettiva, ma non serve a nulla se vogliamo verificare il contrario; il secondo metodo consiste nel considerare x e y generiche e, svolgendo i passaggi come in un'equazione, studiare se possiamo trovare soluzioni e sotto quali condizioni.

Dal punto di vista grafico, una funzione è suriettiva se, tagliata da rette orizzontali, si ottengono sempre una o più intersezioni.

Esempio 5. Studiamo se sono suriettive le seguenti funzioni:

f(x) = 3x + 7

g(x) = sen (x)

h(x) = tan (x)

Svolgimento. Studiamo separatamente le tre funzioni.

♦ Partiamo dalla prima funzione f(x) = 3x + 7, scrivendola come equazione:

y = 3x + 7

Proviamo ad esplicitare la x, con normali passaggo:

− 3x = − y + 7

3x = y − 7

x = ⅓ y − 7⁄3

In questi passaggi non abbiamo dovuto porre alcuna condizione per la y, dunque la funzione è suriettiva.

♦ Consideriamo ora la seconda funzione g(x) = sen (x), scrivendo anch'essa come equazione:

y = sen(x)

Per esplicitare la x, dobbiamo far riscorso alla funzione inversa del seno, che è l'arcoseno:

arcsen(y) = arcsen(sen(x))

arcsen(y) = x

Tuttavia la funzione arcoseno prevede, come c.e., che l'argomento sia compreso tra − 1 e +1, quindi abbiamo una limitazione per la y:

− 1 ≤ y ≤ +1

Avendo inserito una condizione per la y, la funzione non è suriettiva.

♦ Passiamo infine alla terza funzione h(x) = tan (x), scrivendo anch'essa come equazione:

y = tan(x)

Osserviamo che la tangente possiede una c.e. che coinvolge la x, ma in questo momento dobbiamo concentrarci solo sulla y; anche in questo caso, per esplicitare la x dobbiamo far riscorso alla funzione inversa della tangente, che è l'arcotangente:

arctan(y) = arctan(tan(x))

arctan(y) = x

La funzione arcotangente non prevede alcuna condizione particolare, quindi non abbiamo limitazioni per la y e la funzione è suriettiva.

Conclusione: le funzione f(x) e h(x) sono suriettive, la funzione g(x) non lo è.

A questo punto uno si può chiedere: ma se una funzione non è iniettiva, allora e suriettiva? e anche al contrario se non è suriettiva, allora è iniettiva?
No, le funzioni iniettive e suriettive sono casi molto particolari, in quanto non è scontato una determinata proprietà valga per tutte le corrispondenze tra x e y di una funzione: molte funzioni non sono né iniettive né suriettive.
Esistono poi funzioni ancora più particolari che sono sia iniettive che suriettive: le funzioni biunivoche.

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Funzioni biunivoche e inverse


Un tipo di funzioni molto particolari e anche molto utili sono le funzioni biunivoche (o biiettive).

Una funzione è biunivoca se è sia iniettiva, sia suriettiva.

Quindi una funzione biunivoca è una corrispondenza esatta tra gli elementi del Dominio e del Codominio: se scelgo il valore di x so chi è la sua immagine y, e viceversa se scelgo y so chi è x; di conseguenza in una funzione biunivoca posso trattare le immagini e le controimmagini in modo equivalente: posso scrivere y in funzione di x, e anche x in funzione di y.

Una funzione si dice invertibile se è una funzione da cui si può ricavare, con passaggi algebrici o con ragionamento, una funzione inversa.
Ma cos'è una funzione inversa?

Sia f : A → B una funzione invertibile; allora la funzione inversa di f è una funzione f⁻¹ tale che:

f⁻¹ : B → A

y = f(x) ⇔ x = f⁻¹(y)

Una funzione inversa è in pratica una funzione che fa i calcoli inversi alla funzione iniziale, quindi che dalle immagini y ci permette di calcolare le controimmagini x iniziali.

Se una funzione non è invertibile, può esser resa tale ponendo ulteriori limitazioni al Dominio e al Codominio, così da diventare biunivoca; infatti:

Una funzione biunivoca è invertibile.

In particolare, per rendere una funzione iniettiva bisogna restringere il Dominio, tenendo solo le x che hanno immagini diverse tra loro, mentre per renderla suriettiva bisogna restringere il Codominio, in modo tale che coincida con l'insieme Immagine.

Esempio 6. Determiniamo se la seguente funzione è invertibile e calcoliamo la sua funzione inversa.

f(x) = x² + 6x

Svolgimento. Partiamo studiando il Dominio iniziale della funzione: essendo un polinomio, il suo Dominio è tutto l'insieme dei numeri reali; per quanto riguarda il Codominio, anch'esso al momento possiamo dire che è ℝ, quindi:

f : ℝ → ℝ

Consideriamo l'equazione associata e proviamo ad esplicitare la x.

y = x² + 6x

x² + 6x − y = 0

Abbiamo un'equazione di 2° grado, quindi per ottenere la x, dobbiamo usare la formula risolutiva (in questo caso usiamo la ridotta).

x = − 3 ± √ 9 − 4(−y)

x = − 3 ± √ 9 + 4y

Come prima osservazione, notiamo che la y è sotto radice, quindi dobbiamo porre una c.e.:

y + 4 ≥ 0   ⇒   y ≥ − 4

Se questa condizione non viene rispettata, la funzione non è suriettiva.
Inoltre, davanti alla radice è presente un ±, quindi la soluzione non è unica; se vogliamo che la funzione sia anche iniettiva, dobbiamo scegliere uno dei due casi, ad esempio il +:

x = − 3 + √ 9 + 4y

Questa scelta ci porta ad una condizione per la x: infatti, spostando il − 3 a sinistra otteniamo:

x + 3 = + √ 9 + 4y

e dal momento che il risultato della radice è positivo, dovrè esser positiva anche l'espressione a sinistra.

x + 3 ≥ 0   ⇒   x ≥ − 3

Se questa condizione non viene rispettata, la funzione non è inettiva.

La funzione iniziale non è quindi né iniettiva né suriettiva; se vogliamo ottenere la funzione inversa, dobbiamo quindi applicare le seguenti limitazioni:

Per il Dominio:   x ≥ − 3

Per il Codominio:   y ≥ − 4

Conclusione: la funzione iniziale, ristretta a:

f : [−3; +∞) → [−4; +∞)

è biunivoca, e la sua funzione inversa, ottenuta scambiano le x con le y, è:

f : [−4; +∞) → [−3; +∞)

y = − 3 + √ 9 + 4x

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