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Attenzione: può accadere che alcuni simboli non siano visualizzati correttamente, leggi le info alla sezione compatibilità.
Intersezione con l'asse x
I punti di intersezione con l'asse x corrispondono agli zeri della funzione, ovvero i valori della x aventi come immagine zero; essi si ottengono mettendo a sistema l'equazione della funzione: y = ƒ(x) con la condizione y = 0.
⎧ y = ƒ(x)
⎨
⎩ y = 0
Per risolvere tale sistema, è necessario risolvere l'equazione ƒ(x) = 0 (il metodo di risoluzione varia a seconda del tipo di funzione).
Ogni soluzione che rispetti il Dominio corrisponde alla ascissa di un punto di intersezione; ogni punto trovato avrà la y = 0.
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Esempio 4 – 1ª parte. Cerchiamo le intersezioni con l'asse delle x della funzione seguente:
ƒ(x) = (x² − 3x + 2) ⁄ (5x − 5)
Svolgimento. Per prima cosa studiamo il Domionio: essendo una funzione fratta deve esser posta la condizione che il denominatore sia diverso da zero; si ottiene quindi:
D = { ∀x∈ ℝ : x≠1 }
A questo punto studiamo il sistema per determinare le intersezioni con l'asse x:
⎧ y = (x² − 3x + 2) ⁄ (5x − 5)
⎨
⎩ y = 0
Quindi studiamo l'equazione risolvente:
(x² − 3x + 2) ⁄ (5x − 5) = 0
Essendo una equazione fratta, e avendo già studiato le c.e., possiamo moltiplicare entrambi i membri per (5x − 5) per eliminare il denominatore.
Otteniamo un'equazione intera di II grado:
x² − 3x + 2 = 0
Le cui soluzioni sono x = 1 ∨ x = 2.
Tuttavia la prima soluzione viola le condizioni poste dal dominio, quindi non può esser accettata; al contrario la seconda non crea alcun problema, quindi effettivamente corrisponde ad un punto di intersezione con l'asse x.
Conclusione: la funzione possiede un punto in comune con l'asse x, che chiamiamo: A (2; 0)
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Intersezione con l'asse y
Una funzione può avere al massimo un punto di intersezione con l'asse y (se ne avesse di più non sarebbe una funzione); tale punto corrisponde all'immagine del valore zero, e si ottiene studiando il sistema tra l'equazione della funzione: y = ƒ(x) con la condizione x = 0.
⎧ y = ƒ(x)
⎨
⎩ x = 0
Per prima cosa occorre controllare se la condizione x = 0 è accettabile per il Dominio: in caso negativo lo studio finisce subito e la funzione non ha intersezioni con l'asse y; al contrario se x = 0 è accettabile, è sufficiente calcolare l'immagine di 0: y = ƒ(0), sostituendo a tutte le x della funzione il valore zero e calcolando il valore ottenuto.
La soluzione corrisponde all'ordinata del punto di intersezione, mentre la x = 0.
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Esempio 4 – 2ª parte. Cerchiamo le intersezioni con l'asse delle x della funzione di prima:
ƒ(x) = (x² − 3x + 2) ⁄ (5x − 5)
Svolgimento. Avendo già studiato il Dominio, sappiamo che la condizione x = 0 è accettabile.
Studiamo quindi il sistema per determinare le intersezioni con l'asse y:
⎧ y = (x² − 3x + 2) ⁄ (5x − 5)
⎨
⎩ x = 0
Quindi sostituiamo alla x il valore 0:
y = (x² − 3x + 2) ⁄ (5x − 5)
y = (0² − 3(0) + 2) ⁄ (5(0) − 5)
y = 2 ⁄ 5
y = ⅖
Tale soluzione corrisponde ad un punto di intersezione con l'asse y.
Conclusione: la funzione possiede un punto in comune con l'asse y: B (0; 2/5)
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Esempio 5. Cerchiamo le intersezioni con l'asse delle x della funzione seguente:
ƒ(x) = log (x² + 10) − 5x + 3
Svolgimento. Per prima cosa studiamo il Domionio: il logaritmo impone che il suo argomento sia positivo; fortunatamente il polinomio x² + 10, essendo la somma di due termini positivi, è sempre positivo, di conseguenza non vi sono c.e.:
D = { ∀x∈ ℝ }
A questo punto studiamo il sistema per determinare le intersezioni con l'asse y:
⎧ y = log (x² + 10) − 5x + 3
⎨
⎩ x = 0
Quindi sostituiamo alla x il valore 0:
y = log (0² + 10) − 5(0) + 3
y = log (10) − 0 + 3
y = 1 − 0 + 3
y = 4
Tale soluzione corrisponde ad un punto di intersezione con l'asse y.
Conclusione: la funzione possiede un punto in comune con l'asse y: A (0; 4)
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