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Introduzione - Regole di derivazione - Derivabilità - Punti stazionari

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REGOLE DI DERIVAZIONE

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CONTENUTO DELLA PAGINA
Regole di derivazione
Derivate fondamentali
Esempi

Regole di derivazione

Per calcolare la derivata di funzioni avanzate è opportuno conoscere le formule generali di derivazione.

OPERAZIONE

DERIVATA

f(x) + g(x)

f '(x) + g '(x)

f(x) − g(x)

f '(x) − g '(x)

k·f(x)

k·f '(x)

f(x)·g(x)

f '(x)·g(x) + f(x)·g '(x)

1f(x)

−	f '(x)f(x)²

f(x)g(x)

f '(x) g(x) − f(x) g'(x)g(x)²

f [g(x)]

f '[g(x)]· g '(x)

f⁻¹(y)

1f ' [f⁻¹(y)]

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Derivate fondamentali

Di seguito sono riportate le derivate delle funzioni elementari più comuni, ottenute direttamente dalla definizione, facendo il limite del rapporto incrementale per intervalli infinitesimi.

FUNZIONE	DERIVATA
ƒ(x)	ƒ ' (x)
costante	0
x	1
x²	2x
x ⁿ	n xⁿ⁻¹
e^x	e^x
𝓁𝓃 \|x\|	1 ⁄ x
sen(x)	cos(x)
cos(x)	−sen(x)

Qui invece sono riportati esempi di derivate di alcune funzioni più avanzate, ottenute applicando le formule generali di derivazione.

FUNZIONE

DERIVATA

ƒ(x)

ƒ ' (x)

10 + π

3x⁵ − 8x²

15x⁴ − 16x

⁵√x

15 ⁵√x⁴

7^x

7^x ln (7)

log₃ |x|

1x·ln(3)

tan(x)

1 + tan (x)²

cot(x)

− 1 − cot(x)²

arcsen(x)

1√ 1 − x²

arccos(x)

−

1√ 1 − x²

arctan(x)

11 + x²

arccot(x)

−

11 + x²

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Esempi

Ecco alcuni esempi di come si calcola la derivata.

Esempio 2. Calcoliamo la derivata della funzione:

ƒ(x) = 5x³ + 3(sin(x))² − 2 ^3x + √ 8

Svolgimento. Essendo una somma algebrica, possiamo calcolare separatamente le singole derivate, e poi scrivere l'espressione finale con le stesse operazioni.
Calcoliamo quindi la derivata di ogni termine:

D [ 5 x³ ] = 5 · 3x² = 15 x²
D [ 3 (sin(x))² ] = 3 · 2 sin(x) · (cos(x)) = 6 sin(x) cos(x)
D [ 2 ^3x ] = 2 ^3x · ln(2) · 3 = 3 ln(2) 2 ^3x
D [ √ 8 ] = 0 (essendo un valore costante)

Conclusione: la derivata la derivata della funzione è :

ƒ ' (x) = 15x² + 6 sin(x) cos(x) − 3 ln(2) 2 ^3x

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