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Introduzione - Regole di derivazione - Derivabilità - Punti stazionari

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Formule generali


Per calcolare la derivata di funzioni avanzate è opportuno conoscere le formule generali di derivazione.

regola funzionederivata
somma di funzioni f(x)+g(x)f '(x) + g '(x)
differenza di funzioni f(x)−g(x)f '(x) − g '(x)
prodotto per una costante k·f(x)k·f '(x)
prodotto di funzioni f(x)·g(x)f '(x)·g(x) + f(x)·g '(x)
reciproco di una funzione
1

f(x)
f '(x)
− ——    
f(x)²
rapporto tra funzioni
f(x)
——
g(x)
f '(x)·g(x) − f(x)·g '(x)
————————
g(x)²
composizione tra funzioni f [g(x)]f '[g(x)]· g '(x)
inverso di una funzione f −1(y)1 / f ' [f −1(y)]

Derivate di funzioni fondamentali


Di seguito sono riportate le derivate delle funzioni elementari, ottenute direttamente dalla definizione, facendo il limite del rapporto incrementale per intervalli infinitesimi.

tipo funzione
ƒ(x)
derivata
ƒ ' (x)
costante k0
lineare x1
quadratica 2x
potenza x nn xn−1
esponenziale (naturale) e xex
logaritmo (naturale) ln |x|1 ⁄ x
seno sen(x)cos(x)
coseno cos(x)−sen(x)

Qui invece sono riportate le derivate di alcune funzioni più avanzate, ottenute applicando le formule generali di derivazione.

tipo funzione
ƒ(x)
derivata
ƒ ' (x)
polinomio axn + bxm anxn−1 + bmxm−1
irrazionale nx
1
————
nxn−1
esponenziale (generico) axln (a) · ax
logaritmo (generico) logb |x|
1
———
x·ln(b)
tangente tan(x)1 + tan (x)²
cotangente cot(x)− 1 − cot(x)²
arco-seno arcsen(x)
1
———
1 − x²
arco-coseno arccos(x)
− 1
———
1 − x²
arco-tangente arctan(x)
1
——
1 + x²
arco-cotangente arccot(x)
− 1
——
1 + x²

Esempi


Ecco alcuni esempi di come si calcola la derivata.

Esempio 2.

Consideriamo la funzione:

ƒ(x) = 5x³ + 3x² − 2 x + √8

Calcoliamo la derivata di ogni termine (essendo una somma algebrica, possiamo calcolare separatamente le singole derivate, e poi scrivere l'espressione finale con le stesse operazioni):

  • D [ 5x³ ] = 5 · 3x² = 15x²
  • D [ 3x² ] = 3 · 2x = 6x
  • D [ 2 x ] = 2 x · ln(2)
  • D [ √8 ] = 0(essendo un valore costante)

Di conseguenza la derivata la derivata della funzione è :

ƒ ' (x) = 15x² + 6x − 2 x ln(2)


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