Assiomi - Insiemi numerabili - Insiemi non numerabili

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ℝ - Reali

Cardinalità = ℵ₁
La definizione di questo insieme non è molto semplice: sono definiti introducendo i "limiti" finiti di tutte le succesioni di numeri razionali. L'insieme dei numeri reali è molto vasto, e i razionali non sono che una piccola parte dei numeri reali!
In genere si dice che i numeri reali sono tutti i numeri interi, decimali limitati, decimali periodici (ossia i razionali) e aperiodici, ossia un qualunque numero con una qualunque successione di cifre decimali, sia periodiche sia casuale... anche se non è molto rigosa, tuttavia tale definizione esprime bene l'idea.
Formalmente si scrive che ℝ ≅ 2^ℕ, ossia ℝ può esser messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle parti di ℕ; questo comporta che l'insieme ℝ sia un insieme infinito e non numerabile: è un insieme continuo e c'è una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e i punti di una retta.
Inoltre ( ℝ, +, × ) è un campo.

I Reali si dividono in:

1. algebrici se esiste un polinomio a coefficienti interi di cui sono zeri (es. √2, il rapporto aureo, e ogni numero razionale);
2. trascendenti se non sono algebrici (es. pi greco, il numero di Nepero)

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ℂ - Complessi

Cardinalità = ℵ₁
Sono numeri che non si studiano frequentemente, ma che godono di proprietà molto singolari. Definiamo l'unità immaginaria, identificata col simbolo i, quel numero (non reale) tale che i² = -1.
Ogni numero complesso z si scrive come una coppia (a, b) o più semplicemente nella forma a + ib, con a, b numeri reali; a è la parte reale di z, b la parte immaginaria; osserviamo che se b = 0, z è un comune numero reale, mentre se a = 0, z è detto numero immaginario. La radice quadrata di un numero complesso ha sempre due soluzioni; più in generale la radice n-ma di z (z ≠ 0) ha sempre esattamente n soluzioni distinte.
Ad esempio ³√z = 1 ha tre soluzioni:   z₁ = 1,   z₂ = (1 − √3 i) / 2,   z₃ = -(1 + √3 i) / 2
C'è una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i punti del piano: ℂ ≅ ℝ x ℝ.
( ℂ, +, × ) è un campo. L'insieme ℂ è algebricamente chiuso: ogni polinomio di grado n ha esattamente n zeri complessi, ogniuno contato con la propria molteplicità.

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ℍ - Quaternioni

Cardinalità = ℵ₁
Sono un'ulteriore estensione degli insiemi numerici che non si studia mai alle superiori.
Questo insieme si forma introducendo altre due unità j e k nel campo complesso, con le stesse proprietà di i, in modo tale che (1, i, j, k) sia una base. Valgono le seguenti leggi di moltiplicazione tra le unità:

( ℍ, +, × ) un corpo: la moltiplicazione, come si nota dalla tabella, non è più commutativa;
Ogni numero in ℍ è della forma a + ib + jc + kd, con a, b, c, d numeri reali; c'è una corrispondenza biunivoca tra i quaternioni e i punti di uno spazio a 4 dimensioni: ℍ ≅ ℂ × ℂ ≅ ℝ⁴

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