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Assiomi - Insiemi numerabili - Insiemi non numerabili

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Ecco una breve descrizione degli insiemi numerici, approfondendo quello che si studia nelle medie superiori, con qualche accenno a concetti universitari.
Da osservare che tali insiemi vengono descritti usando solamente le operazioni di somma e prodotto, includendo nella somma sia l'addizione che la sottrazione, e nel prodotto sia la moltiplicazione sia la divisione, introducendo le nozioni di opposto (nella somma) e reciproco (nel prodotto). Quindi la sottrazione tra due numeri naturali non è altro che la somma tra un numero naturale e l'opposto di un altro numero naturale e analogamente la divisione tra due numeri interi non è altro che il prodotto tra un numero intero e il reciproco di un altro numero intero.

Osservazione: Sebbene gli insiemi seguenti siano tutti composti da infiniti elementi, tuttavia non sempre è possibile mettere in corrispondenza biunivoca gli elementi di due insiemi, infatti possono non avere la stessa cardinalità: solo due insiemi aventi uguali cardinalità possono esser messi in corrispondenza biunivoca.
In particolare la cardinalità dei numeri naturali è indicata con ℵ0, (ℵ è alef, la prima lettera dell'alfabeto ebraico), mentre con ℵ1 è indicata la cardinalità di 2, l'insieme delle parti di .

ℕ - Naturali


Cardinalità = ℵ0
I numeri naurali sono quelli utilizzati per contare: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... esiste un numero di partenza (1) ma non esiste alcun numero di arrivo.
L'insieme dei naturale è definito dagli assiomi di Peano come l'insieme contenente il numero uno e tutti i suoi successori. Alcuni matematici considerano lo zero come numero di partenza, e ponendo 1 come successore di 0.
È un insieme ordinato, infinito, numerabile e discreto; ogni sottoinsieme di possiede sempre un elemento minimo, ma può non possedere un elemento massimo.
È un monoide (semigruppo unitario) rispetto alle operazioni di somma (+) e prodotto (×): il risultato tra un'addizione o una moltiplicazione tra numeri naturali è sempre un numero naturale (ma al contrario il risultato di una sottrazione o una divisione non sempre è un numero naturale).

ℤ - Interi (relativi)


Cardinalità = ℵ0
L'insieme dei numeri interi contiene tutti i numeri naturali, lo zero e i loro opposti, definiti nel seguente modo: l'opposto di un numero naturale n è quel numero m tale che m + n = 0, e l'opposto di n si indica con -n; da questo segue che 0 è l'unico numero uguale al suo opposto. Quindi sono numeri interi 0, 1, 2, 3, 4... e anche -1, -2, -3, -4, -5...
Z è ordinato, infinito, numerabile e discreto: si può mettere in corrispondenza biunivoca con l'insieme ; non possiede né un elemento minimo né un elemento massimo; è un monoide rispetto al prodotto ed è un gruppo rispetto alla somma: infatti è "chiuso" rispetto alla somma.

Interessanti sottoinsiemi di sono gli n, gli insiemi delle classi resto modulo n (tutti i possibili resti della divisione per un numero naturale n), con le operazioni di addizione e moltiplicazione cicliche: ad esempio 12 rappresenta l'insieme delle ore dell'orologio...

ℚ - Razionali


Cardinalità = ℵ0
Introduciamo i reciproci di tutti i numeri interi, escluso lo zero, definiti nel seguente modo: il reciproco di un numero intero a è quel numero b tale che a × b = 1, e il reciproco di a si indica con a-1; da questo segue che 1 e -1 sono gli unici numeri uguali ai propri reciproci e che 0 è l'unico numero intero a non possedere un inverso (scrivere 0 -1 è un errore!).
L'insieme dei numeri razionali è ottenuto facendo tutti i prodotti tra i numeri interi e gli inversi; ogni numero razionale è quindi esprimibile mediante una frazione: a × b-1 = a / b, o mediante un numero decimale periodico (limitato o illimitato).
× , quindi l'insieme è ordinato, infinito, numerabile, ma non è discreto: è denso, in quanto ogni coppia di numeri ha sempre un numero tra loro; inoltre è un campo rispetto alla somma e al prodotto:
(, +) e (ℚ*, ×) sono gruppi commutativi, essendo ℚ* l'insieme di tutti i razionali escluso lo zero.


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