Introduzione - Naturali e Interi - Razionali - Reali - Complessi - Quaternioni

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CONTENUTO DELLA PAGINA
Premessa
Definizioni e proprietà
Cardinalità
Assiomi di Peano e principio di induzione

Premessa

In queste pagine viene proposta una breve descrizione degli insiemi numerici, partendo dalle definizioni e dalle proprietà principali e approfondendo talvolta quello che si studia nelle medie superiori con qualche accenno a concetti universitari.

Il concetto di "numero" è un concetto primitivo dell'aritmetica, usato oggi in ogni branca della matematica, delle discipline scientifiche e nella vita quotidiana.

Un po' di storia: sin dall'antichità si utilizzavano i numeri naturali in modo ingenuo per classificare gruppi di elementi in base a quanti essi siano: tre mammut, cinque figli, dieci stelle… i simboli numerici compaiono molto presto, insieme, se non prima, alla scrittura vera e propria; con le civiltà egizia e mesopotamica si introducono i primi numeri razionali, partendo dalle frazioni unitarie: questo anche legato all'introduzione delle monete e alla necessità di fissare multipli e sottomultipli di una determinata quantità.
Per Pitagora e la sua scuola i numeri naturali hanno anche un significato mistico, quindi una particolare importanza nello studio della natura; al contrario non venivano visti di buon occhio i numeri difficili, come le quantità decimali.
Inoltre ancora non veniva considerato lo zero! avendo a che fare con i numeri solo per quantificare ciò che esistevano, che erano presenti, non aveva molto senso un simbolo per identificare qualcosa che non c'era. Bisogna andare in India per vedere l'utlizzo dello zero come vero e proprio numero, introducendolo insieme ai numeri negativi. L'importanza dei numeri negativi e dello zero si ha con i primi scambi commerciali, con l'introduzione del sistema dei debiti e dei crediti, quindi con qualcosa che non necessariamente deve esserci, ma anche per qualcosa che può mancare.
Agli arabi si riconosce il merito dell'invenzione della notazione posizionale, per rappresentare quantità numeriche in modo più chiaro e semplice. Prima ogni numero è un insieme di simboli la cui complessità o la cui quantità aumentava con l'aumentare del numero: la notazione posizionale permette di limitane la complessità a condizione di stabilire in partenza i ruoli dei simboli usati non solo in base ai simboli stessi, ma anche in base alla posizione in cui essi compaiono.
Solo in seguito, con l'introduzione di un formalismo matematico, negli ultimi secoli si è potuto andare oltre e studiare insiemi numerici più avanzati, come gli algebrici irrazionali (messi "al bando" dalla scuola pitagorica) e i trascendenti, fino ad arrivare ad insiemi completamente astratti come il campo dei complessi o il corpo dei quaternioni.

Il concetto di numero, sebbene resti astratto, è al giorno d'oggi alla base del ragionamento quotidiano e non ha bisogno di definizioni formali. Se volessimo definire cosa sia un numero, potremmo dire che un numero è qualcosa che accomuna insiemi aventi la stessa grandezza, ovvero lo stesso numero di elementi, però così stiamo usando di nuovo la parola numero; in modo più formale e cercando di evitare frasi banali possiamo fare questa associazione:

Una classe di equivalenza è l'insieme di tutti gli elementi equivalenti tra loro, in base ad una relazione di equivalenza concordata in precedenza (vedi nel dizionario: equivalenza); nel nostro caso usiamo la relazione di equivalenza definita in modo semplice tra due insiemi aventi la stessa quantità di elementi.

Definizioni e proprietà

Cos'è un insieme numerico?
Ricordiamo che anche il concetto di "insieme" è un concetto primitivo, quindi non possiede una sua definizione formale (vedi gli insiemi); per questo motivo non si può definire in modo rigoroso neanche cosa sia un insieme numerico; tuttavia possiamo dire che:

è importante distinguere i diversi insiemi numerici per la complessità delle proprietà dei numeri e delle operazioni tra essi.
Gli insiemi numerici che descriviamo sono:

• I Naturali, quelli più semplici, usati per contare.
• Gli Interi, che si dividono in positivi (corrispondenti ai naturali), negativi e zero.
• I Razionali, che contengono i numeri interi, i decimali limitati e i decimali illimitati periodici: tutti rappresentabili mediante frazioni.
• I Reali, contenenti i numeri algebrici (razionali e radicali) e i numeri trascendenti.
• I Complessi dati dalla combinazione di numeri reali e immaginari.
• I Quaternioni dati dalla combinazione di un numero reale e tre immaginari.

Gli insiemi numerici elencati sono in ordine: ogni insieme successivo comprende al suo interno gli insiemi precendenti.

In un insieme numerico sono definite delle particolari relazioni tra i suoi elementi: le operazioni.
Una operazione è una relazione tra gli elementi di un insieme; la maggior parte delle operazioni sono binarie, ossia associano a due elementi a e b dell'insieme un terzo elemento c, anch'esso dell'insieme; i nomi con cui sono indicati a, b, c dipendono dall'operazione considerata; inoltre alcune operazioni possono essere unarie, ossia associano ad un elemento a un elemento b (questo in genere perché l'elemento rimanente è prefissato o sottointeso).

Le operazioni tra numeri sono molteplici: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione sono le quattro operazioni base che si studiano alle elementari: esse sono tutte operazioni binarie; a queste possiamo aggiungere l'operazione di successore, di precedente di elevamento a potenza, di estrazione a radice e di calcolo del logaritmo, di fattoriale, che si affrontano nei vari anni delle scuole medie. Nelle pagine del Dizionario sono descritte brevemente tutte queste operazioni.

Attenzione. Le definizioni seguenti possono apparire un po' astratte e rigorose, ma servono per definire in modo corretto i diversi insiemi numerici e non far confusione tra loro; tuttavia per una semplice introduzione informale a tali insiemi possono esser saltate, passando direttamente alle pagine successive.

LUna importante definizione che riguarda gli insiemi numerici è la seguente:

Una relazione d'ordine gode delle proprietà anti-riflessiva, anti-simmetrica e transitiva. Nel nostro caso possiamo usare la relazione "minore di" con il simbolo "<" e diciamo che, se a precede b, allora a < b.

In un insieme ordinato, dati due elementi distinti a e b, vale solo una delle due opzioni (principio del terzo escluso):

a < b oppure b < a.

Un'altra importante definizione che riguarda sempre i nostri insiemi è la seguente:

Gli insiemi numerici sono degli spazi metrici se utilizziamo come distanza la normale differenza in valore assoluto. Dati due numeri a e b, la distanza tra essi è:

Queste due importanti definizioni introdotte coinvolgono tutti gli insiemi numerici descritti in queste pagine.

Prima di elencare le diverse proprietà che un insieme può avere, fissiamo un concetto utile, quello di intorno di un elemento a: l'intorno (circolare) di un elemento a di A e di raggio R è l'insieme I(a, R) di tutti gli elementi x ∈ A tali che:

Un intorno di a in parole povere è l'insieme degli elementi vicini ad a. Per approfondire gli intorni, vedi la pagina sugli intervalli ed intorni nella sezione di analisi matematica.

Introduciamo a questo punto alcune importanti proprietà generali che possono avere gli insiemi numerici ordinati, visti come spazi metrici.
Per quanto riguarda l'estensione di un insieme ordinato A, esso può essere limitato oppure illimitato; in particolare:

• limitato inferiormente – se esiste un elemento a tale che a < x per tutti gli altri elementi x dell'insieme; l'elemento a viene chiamato estremo inferiore e, se tale elemento appartiene a all'insieme, viene chiamato anche minimo.
• limitato superiormente – se esiste un elemento b tale che x < b per tutti gli altri elementi x dell'insieme; l'elemento b viene chiamato estremo superiore e, se tale elemento appartiene a all'insieme, viene chiamato anche massimo.
• illimitato inferiormente – se non è limitato inferiormente, ossia se non esiste alcun estremo inferiore (ad eccezione di − ∞)
• illimitato superiormente – se non è limitato superiormente, ossia se non esiste alcun estremo superiore (ad eccezione di + ∞)

Invece per quanto riguarda la numerosità dei suoi elementi, un insieme A può essere discreto, numerabile, denso, continuo:

• discreto – se possiede solo elementi isolati, quindi se è possibile che tra due elementi a e b di A, non vi sia alcun altro elemento a separarli:
  ∃ a, b ∈ A (con a < b) tali che ∄ x ∈ A : a < x < b
  o analogamente se per ogni elemento possiamo trovare un intorno talmente piccolo da non contenere altri elementi:
  ∀a ∃r > 0 tale che I(a, r) ∩ A = ∅
• numerabile – se è possibile stabilire una regola per la quale ogni elemento ha un suo successore (non necessariamente seguento l'ordinamento prestabilito).

Osserviamo che qualunque insieme ordinato e discreto è numerabile, in quanto per ogni elemento è definito un precedente o un successore (ad eccezione eventualmente degli elementi estremi), in mezzo ai quali non ci sono altri elementi:

A discreto e ordinato ⇒ A numerabile

Questa proprietà non sempre vale al contrario: vi sono insiemi densi numerabili, e altri non numerabili.

• denso – se non possiede punti isolati, ossia se tra due elementi a e b in A (con a < b) esiste sempre un elemento x tale che a < x < b;
• continuo – se è denso e se contiene anche tutti i limiti di successioni di suoi elementi.

Più in generale un insieme A è denso in un insieme B (con A ⊆ B) se:

Infine, per quanto riguarda sia l'estensione che la numerosità un insieme può esser: aperto, chiuso, compatto, completo:

• aperto – se è formato da un intorno o da una unione finita di intorni; quindi se contiene solo punti interni (non contiene quindi gli estremi).
• chiuso – se contiene tutti i punti di accumulazione dei propri elementi, ossia se per ogni elemento x di A esistono intorni di x con raggio qualunque, contenente sempre altri elementi di A (in genere contiene quindi anche gli estremi).

Notiamo che un insieme può non esser né chiuso, né aperto (soprattutto se viene da unione di insiemi diversi); cosa ancora più particolare, un insieme può anche esser contemporaneamente aperto e chiuso: ad esempio l'insieme ℝ è contemporaneamente aperto e chiuso (infatti contiene solo punti interni, che sono anche punti di accumulazione).

• compatto – se è limitato sia inferiormente, sia superiormente, e se è chiuso.
• completo – se ogni successione di Cauchy con numeri dell'insieme A converge in A; una successione numerica si chiama "di Cauchy" se la differenza tra due elementi successivi tende a diventare infinitesima, ossia se:
  ∀ ε > 0 ∃ k tale che |xₙ − xₘ| < ε ∀ m, n > k

Vale infine la proprietà:

A completo ⇒ A chiuso

Per concludere, ricordiamo che, se in un insieme è introdotta una determinata operazione tra gli elementi (come ad esempio l'addizione, la moltiplicazione, ma anche operazioni inventate da noi…) allora l'insieme prende il nome di struttura algebrica; le struttura algebrica (descritte in queste pagine) sono molte, e si distinguono a seconda delle operazioni introdotte e delle loro proprietà.

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Cardinalità

La cardinalità di un insieme è la quantità di elementi che possiede; se un insieme ha un numero finito di elementi, la cardinalità è proprio il numero di tali elementi.

Nel nostro caso gli insiemi numerici descritti qui sono tutti composti da infiniti elementi, infiniti numeri, quindi hanno cardinalità infinita; inoltre alcuni di questi insiemi sono più numerosi rispetto ad altri, in quanto alcuni insiemi sono estensioni di insiemi precedenti, introducendo nuovi elementi numerici; quindi in linea di principio è abbastanza comprensibile che alcuni insiemi con infiniti elementi possono avere cardinalità maggiore rispetto ad altri.

Come possiamo stabilire la cardinalità degli insiemi numerici?

Quindi se esiste una funzione biunivoca che ad ogni elemento del primo insieme fa corrispondere esattamente un solo elemento del secondo insieme, allora possiamo affermare che i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
Si può verificare però che in alcuni casi è possibile mettere in corrispondenza biunivoca due insiemi numerici con infiniti elementi, mentre in altri casi no: talvolta aggiungere nuovi elementi non basta ad aumentarne la cardinalità; anche inserendo nuovi numeri ad un insieme, la cardinalità dell'insieme non cambia, l'insieme finale e quello iniziale sono numerosi in egual misura.
Quindi si capisce che l'avere infiniti elementi spesso non basta ad avere la stessa cardinalità; occorre classificare gli insiemi in base non solo al numero di elementi, ma anche alla concentrazione degli elementi, a quanto un insieme è fitto.

Per classificare la cardinalità degli insiemi numerici, usiamo il simbolo ℵ seguito da un numero (ℵ è alef, la prima lettera dell'alfabeto ebraico); in particolare ci occuperemo di insiemi aventi le seguenti cardinalità:

• ℵ₀ è chiamata cardinalità del numerabile e corrisponde alla cardinalità dell'insieme ℕ dei numeri naturali; è la cardinalità più bassa tra quelle di infiniti elementi: ogni insieme con cardinalità ℵ₀ è un insieme infinito e numerabile e quindi può esser messo in corrispondenza biunivoca con ℕ;
• ℵ₁ è chiamata la cardinalità del continuo e corrisponde alla cardinalità di 2^ℕ, l'insieme delle parti di ℕ; gli insiemi con tale cardinalità possono esser messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle parti di ℕ, ossia l'insieme di tutti i sottoinsiemi di ℕ, quindi sono più fitti, più numerosi dei precedenti e sono insiemi non numerabili.

Le cardinalità successive si ottengono iterando queste definizioni: ad esempio ℵ₂ indica la cardinalità dell'insieme 2^2ℕ, ossia l'insieme delle parti di 2^ℕ; non affronteremo lo studio di insiemi con tali cardinalità.

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Assiomi di Peano e principio di induzione

Le basi dell'aritmetica si fondano sui concetti primitivi di numero, uno, e successore e sugli assiomi di Peano; a volte si preferisce considerare lo zero al posto dell'uno, per questioni di completezza: con lo zero si può definire l'uno, ma con l'uno non si può definire lo zero, come si capisce leggendo gli assiomi.

Il sistema numerico e l'insieme dei numeri naturali si basano sugli Assiomi di Peano; in particolare il quinto assioma viene enunciato in forme diverse, ed è noto come principio d'induzione.
Una forma più generale è la seguente:

La proposizione p(n) può esser una qualunque affermazione, un teorema, una proprietà che riguarda i numeri naturali.
La prima ipotesi, chiamata ipotesi di partenza, è semplice: supponiamo che sia vera almeno per un numero, in particolare il primo, il numero 1; detta in altri termini: se n = 1 allora p(n) è vera.
La seconda ipotesi, chiamata ipotesi induttiva è quella chiave: all'interno di questa ipotesi inseriamo una nuova implicazione; a parole possiamo dire: «supponiamo che il fatto che sia vera per un determinano altro numero (oltre a 1) comporti che sia vera anche per quello successivo»

L'ipotesi induttiva non è (soltanto) che la proposizione sia vera per un altro numero, ma che la proposizione si possa trasferire da un qualunque numero al suo successivo.

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