Assiomi - Insiemi numerabili - Insiemi non numerabili

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Assiomi di Peano

L'algebra parte dallo studio degli insiemi e delle loro proprietà (vedi teoria degli insiemi), utilizzando come modello di riferimento gli insiemi che si trovano in natura e tratta come casi particolari gli insiemi numerici, studiati in aritmetica.

Le basi dell'aritmetica si fondano sui concetti primitivi di numero, uno, e successore e sugli assiomi di Peano; a volte si preferisce considerare lo zero al posto dell'uno, per questioni di completezza: con lo zero si può definire l'uno, ma con l'uno non si può definire lo zero, come si capisce leggendo gli assiomi.

Assiomi di Peano:

1. 1 è un numero;
   
2. il successore di un numero è un numero;
   
3. due numeri diversi hanno successori diversi;
   
4. 1 non è successore di alcun numero;
   
5. se un insieme di numeri contiene l'1 e il successore di ogni suo elemento, allora contiene l'insieme ℕ di tutti i numeri naturali.

Il problema della scelta di 1 piuttosto che 0 sta proprio nella definizione di insieme dei numeri naturali: la maggior parte dei matematici preferisce escludere lo 0 dai naturali, introducendolo con i numeri interi relativi (vedi insiemi numerici).

Il quinto assioma viene enunciato in forme diverse, ed è noto come principio d'induzione.
Una forma più generale è la seguente:

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