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INSIEMI NUMERICI

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Assiomi di Peano

L'algebra parte dallo studio degli insiemi e delle loro proprietà (vedi teoria degli insiemi), utilizzando come modello di riferimento gli insiemi che si trovano in natura e tratta come casi particolari gli insiemi numerici, studiati in aritmetica.

Le basi dell'aritmetica si fondano sui concetti primitivi di numero, uno, e successore e sugli assiomi di Peano; a volte si preferisce considerare lo zero al posto dell'uno, per questioni di completezza: con lo zero si può definire l'uno, ma con l'uno non si può definire lo zero, come si capisce leggendo gli assiomi.

Assiomi di Peano:

1 è un numero;
il successore di un numero è un numero;
due numeri diversi hanno successori diversi;
1 non è successore di alcun numero;
se un insieme di numeri contiene l'1 e il successore di ogni suo elemento, allora contiene l'insieme ℕ di tutti i numeri naturali.

Osservazione: in alcuni contesti nel quinto assioma si preferisce utilizzare il numero zero al posto dell'uno, in quanto di fatto può esser utile; il problema della scelta di zero o di uno sta proprio nella definizione di insieme dei numeri naturali: molti matematici preferiscono escludere lo 0 dai naturali, introducendolo con i numeri interi relativi (vedi la pagina seguente); al contrario altri matematici preferiscono includere lo zero tra i numeri naturali; quest'ultima soluzione è utilizzata spesso anche in informatica; entrambe le scelte sono corrette, a patto di non fare confusione tra esse.
In queste pagine seguiamo la prima convenzione, fissando il numero uno come il primo numero naturale, e introducendo lo zero con i numeri relativi.

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Principio di induzione

Il quinto assioma viene enunciato in forme diverse, ed è noto come principio d'induzione.
Una forma più generale è la seguente:

Sia p(n) una proposizione che dipenda dal numero naturale "n".
Supponiamo che:

p(1) è una proposizione vera;
l'ipotesi che sia vera p(x) comporta che sia vera anche p(x+1), per qualunque numero naturale x considerato;

allora:

p(n) è vera per ogni numero naturale n.

La proposizione p(n) può esser una qualunque affermazione, un teorema, una proprietà che riguarda i numeri naturali.
La prima ipotesi, chiamata ipotesi di partenza, è semplice: supponiamo che sia vera almeno per un numero, in particolare il primo, il numero 1; detta in altri termini: se n = 1 allora p(n) è vera.
La seconda ipotesi, chiamata ipotesi induttiva è quella chiave: all'interno di questa ipotesi inseriamo una nuova implicazione; a parole possiamo dire: «supponiamo che il fatto che sia vera per un determinano altro numero (oltre a 1) comporti che sia vera anche per quello successivo»

L'ipotesi non è (solo) che sia vera per un altro numero, ma che ci sia questo trasferimento da un qualunque numero al suo successivo.

Esempio 1. Consideriamo la seguente proposizione:

La somma dei primi n numeri naturali corrisponde al semiprodotto tra l'ultimo numero e il suo successivo.

Dimostriamo questa proprietà usando il principio di induzione.

Dimostrazione. La proposizione può esser scritta così:

p(n): 1 + … + n = n·(n + 1) ⁄ 2

Verifichiamo la prima ipotesi: sostituiamo ad n il valore 1, e la proposizione diventa:

p(1): 1 = 1·(1 + 1) ⁄ 2

Svolgendo i calcoli a destra otteniamo 1, quindi questa uguaglianza è un'identità, è, vera.

Volendo, per iniziare a convincerci, possiamo anche sostituire altri numeri, e vedere che tale proprietà continua ad esser vera; ad esempio:

p(2): 1 + 2 = 2·(2 + 1) ⁄ 2

p(3): 1 + 2 + 3 = 3·(3 + 1) ⁄ 2

p(4): 1 + 2 + 3 + 4 = 4·(4 + 1) ⁄ 2

Potremmo andare avanti così all'infinito! Tuttavia in questo modo non verificheremo mai al 100% che questa proprietà valga per tutti i numeri; occorre passare all'ipotesi induttiva.

L'ipotesi induttiva che dobbiamo dimostrare, contiene:

una parte che supponiamo vera, ossia la testi iniziale;
un'altra che tocca a noi verificare, ossia la tesi aumentata al numero successivo.

Dobbiamo quindi verificare, utilizzando la proposizione iniziale, che:

p(n+1): 1 + … + n + (n + 1) = (n + 1)·(n + 2) ⁄ 2

Partiamo con la somma a sinistra dell'uguale; può esser scritta come la somma fino ad n, (come era in precedenza) più l'ultimo numero, aggiunto alla fine:

(1 + … + n) + (n + 1)

Ma la quantità nella prima parentesi, per l'ipotesi induttiva, sappiamo a quanto corrisponde: è il caso iniziale. Quindi possiamo sostituirlo:

(n·(n + 1) ⁄ 2) + (n + 1)

Svolgiamo i calcoli e unifichiamo e facciamo il m.c.m.:

(n² + n) ⁄ 2 + (n + 1)

(n² + n + 2n + 2) ⁄ 2

(n² + 3n + 2) ⁄ 2

Il polinomio tra parentesi è proprio il prodotto tra (n+1)·(n+2), quindi abbiamo ottenuto l'espressione a destra dell'uguale in p(n+1):, e verificato che anche questa proposizione è vera.

Conclusione: poiché p(1) è vera e poiché p(n) ci ha portato a p(n+1), allora la proposizione iniziale vale per ogni numero naturale.

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