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CONTENUTO DELLA PAGINA
Costante di Nepero
Costante di Archimede
Costante di Eulero-Mascheroni
Unità immaginaria

Chiudiamo infine con le principali costanti irrazionali e immaginarie.

Costante di Nepero

Simbolo: e

Usato per: indicare il limite (finito), per n → ∞, della successione (1 + 1/n)ⁿ

Valore approssimativo: 2,7182818285...

Classificazione: numero irrazionale, trascendente, reale.

Storia: è chiamata costante di Nepero in onore al matematico John Napier (Nepero), che introdusse i logaritmi: fu proprio in una sua tavola dei logaritmi che compare il valore di e, ma non come costante.
Successivamente Bernoulli studiò la successione (1 + 1/n)ⁿ, osservando che era convergente; Leibniz e Huygens iniziarono a considerarla una vera e propria costante matematica.
Fu ripresa anche da Eulero, che per primo la identificò con la lettera e: per questo tale costante è nota anche come Costante di Eulero.

Proprietà

• È anche il limite, per n → ∞, della successione (1 − 1/n)ⁿ ;
  le due successioni convergono in maniera monotona, una dall'alto e una dal basso, al numero e.
• Anche la serie ∑(1 / n!) per n che va da 0 a ∞, converge al numero e (il ! indica il fattoriale).
• È un numero reale trascendente.
• Viene usato come base del logaritmo naturale; quindi:

  loge(x)   =   ln(x)

  e, per le proprietà dei logaritmi, ln(e) = 1.
• la funzione esponenziale ƒ(x) = e^x ha la seguente proprietà: ƒ(x) = ƒ'(x) = ƒ''(x) = ...
  ossia il valore della funzione in un punto è uguale al valore di ogni sua derivata in quel punto.

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Costante di Archimede

Simbolo: π   (la lettera "pi" dell'alfabeto greco, corrisponde alla "p" italiana)

Usato per: indicare il rapporto costante esistente tra una circonferenza e il suo diametro

Valore approssimativo: 3,1415926536...

Classificazione: numero irrazionale, trascendente, reale.

Storia: conosciuta spesso come pi greco, è chiamata costante di Archimede in onore al famoso matematico siracusano, che riuscì a darne una stima molto precisa grazie al metodo delle approssimazioni successive; tuttavia anche altre popolazioni antiche, come i Babilonesi, gli Egizi, gli Ebrei e i Cinesi conoscevano l'esistenza di un rapporto costante tra circonferenza e diametro, ma gli diedero una stima molto approssimata (per i cinesi π = 3).
Con la rivoluzione scientifica e la scoperta del calcolo infinitesimale si danno stime sempre più precise di questa costante ed Eulero adotta il simbolo π per indicare il perimetro del cerchio (la circonferenza).
Solo nel XVIII secolo, grazie a Lambert, si prova che π è un numero irrazionale, e quindi non può esser espresso come frazione. Al giorno d'oggi si conoscono più di 1200 miliardi di cifre decimali di π.

Proprietà

• È un numero reale trascendente; sin dall'antichità si è cercato di calcolarlo, per risolvere il problema della quadratura del cerchio; ma solo pochi secoli fà si dimostrò che fosse un numero irrazionale.
• Dalla definizione segue la relazione C : d = π.
• Utilizzando π otteniamo le formule per:
  1. la circonferenza: C = πd = 2πr
  2. l'area del cerchio: A = πr²
  3. la superficie sferica: S = 4πr²
  4. il volume della sfera: V = 4πr³ / 3

  e le varie formule collegate.

• In trigonometria un angolo piatto (180°) vale π radianti e di conseguenza un angolo giro è ampio 2π radianti.

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Costante di Eulero-Mascheroni

Simbolo: γ   (la lettera "gamma" dell'alfabeto greco, corrisponde alla "g" dura italiana)

Usato per: indicare il limite (finito), per n → ∞, della differenza H(n) − ln(n) [vedi sotto]

Valore approssimativo: 0,5772156649...

Classificazione: numero reale [vedi sotto].

Storia: fu studiata nel XVIII secolo da Eulero (Leonhard Euler), che ne calcolò le prime cifre, e in seguito approfondito da Lorenzo Mascheroni, che ne studiò le proprietà e ne calcolò altre cifre.

È una costante molto utile dell'analisi matematica e della teoria dei numeri, in quanto il suo studio coinvolge somme parziali, limiti e integrali.

Proprietà

• Sebbene sia la serie armonica H(n) = Σ(1 ⁄ k), sia la successione logaritmica ln(n) siano successioni divergenti, tuttavia la loro differenza è una successione convergente, che si avvicina sempre più al valore della costante γ.
• Il suo studio nelle scuole superiori è limitato ad una descrizione qualitativa: γ è citata come esempio del limite finito della differenza tra due successioni divergenti.
• È un numero reale, ma non è ancora chiaro se sia razionale o irrazionale.
• La sua principale proprietà è la connessione con la funzione gamma di Eulero, Γ(x), un'estensione del fattoriale sui numeri reali.

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Unità immaginaria

Simbolo: 𝒾

Usato per: indicare il numero (non reale) il cui quadrato sia −1

Valore approssimativo: non è un numero reale

Classificazione: numero immaginario.

Storia: l'unità immaginaria fu introdotta nel XVI secolo come artificio algebrico, studiata da Tartaglia e Cartesio per la risoluzione di equazioni algebriche che non ammettevano soluzioni reali; nel XVIII secolo con Eulero fu formalizzata la teoria dei numeri complessi, che con Gauss entrano a far parte a pieno della teoria algebrica e analitica.

Proprietà

• È un numero complesso, in particolare è un immaginario puro.
• Valgono le seguenti identità:

  𝒾 2 = −1     𝒾 3 = −𝒾     𝒾 4 = 1     𝒾 5 = 𝒾

• 𝒾 è utilizzato per estendere i numeri reali ℝ ai numeri complessi ℂ ottendendo quindi un insieme di numeri "algebricamente chiuso":
  ogni polinomio a coefficenti interi di grado n ha esattamente n zeri complessi
  (per zero di un polinomio si intende una sua radice, ossia un valore della lettera che rende nullo il polinomio).
• Vale la seguente identità di Eulero tra numeri complessi:

  e𝒾 π + 1 = 0

  che è un caso particolare dell Formula di Eulero:

  e𝒾 α = cos(α) + 𝒾 sen(α)

  nel caso in cui α = π.
  Si può osservare che l'identità di Eulero contiene ben 5 costanti fondamentali: 0, 1, 𝒾, e, π.

Per approfondire i numeri complessi, vedi la seguente pagina.

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