|
★ ☆ ☆
<<< Precedente -
Successivo >>>
CONTENUTO DELLA PAGINA
Costante di Fidia
Costante di Pitagora
Costante di Teodoro
Di seguito le principali costanti razionali.
Costante di Fidia
Simbolo: φ
(la lettera "phi" dell'alfabeto greco, si legge "fi" e corrisponde alla "f" italiana)
Usato per: indicare il rapporto tra la diagonale e il lato di un pentagono regolare
Valore approssimativo: 1,6180339887...
Classificazione: numero irrazionale, algebrico, reale.
Storia: conosciuto più frequentemente come rapporto aureo , era noto già agli egizi e ai greci, e fu citato da Euclide nei suoi "Elementi"; corrisponde anche al rapporto tra il lato esterno di un pentagramma (o pentacolo) e il lato del pentagono interno, e per questo fu studiato dai pitagorici: essi consideravano il pentagramma una figura molto importante.
Nel medioevo assunse il nome di proporzione divina , per le sue numerose proprietà aritmetiche e geometriche (vedi di seguito), comparendo indirettamente negli studi di Fibonacci e di Leonardo da Vinci. Keplero ed Eulero nei loro studi lo ricollegarono alla successione di Fibonacci.
Il valore di φ come rapporto è ricorrente in natura, in quanto molte forme di piante e animali (persino il corpo umano) sono in rapporto di φ; in arte classica è stato spesso utilizzato da architetti, scultori o pittori nelle loro opere.
È chiamato costante di Fidia in quanto fu utilizzato dallo scultore greco in molte sue opere: nel Partenone di Atene ad esempio molte dimensioni stanno in rapporto uguale a φ.
Proprietà
- Rispetta la proporzione: φ : 1 = 1 : (φ − 1); ciò ha un'applicazione in geometria:
|
La sezione aurea di un segmento di lunghezza L è quel segmento di lunghezza x ≤ L tale che:
L : x = x : (L − x)
|
- Sempre in geometria, è il rapporto tra la diagonale e il lato di un pentagono regolare;.
- φ non è un numero razionale: esso corrisponde al valore dell'espressione: (√5 + 1) / 2
- φ è un numero reale algebrico: infatti è la radice positiva dell'equazione:
- Da quest'ultima proprietà seguono due interessanti caratteristiche:
- φ − 1 = 1 / φ
- φ + 1 = φ ²
- φ è legato alla successione di Fibonacci:
infatti φ è il limite, per n → ∞, del rapporto
F(n+1) : F(n)
inoltre vale la formula:
^
Torna su
Costante di Pitagora
Simbolo: √2
Usato per: indicare il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato
Valore approssimativo: 1,4142135624...
Classificazione: numero irrazionale, algebrico, reale.
Storia: è stato il primo numero irrazionale "scoperto" in antichità: studiato oltre che dagli antichi greci, anche in Babilonia, nell'antico Egitto e in India, furono date stime molto precise con i metodi della somma di frazioni semplici.
I pitagorici, filosofi dell'universalità dei numeri razionali, si accorgerso che tale valore non può esser espresso come frazione, e Pitagora stesso ne studiò il valore e le proprietà, cercando invano prove per la sua teoria (ottenendo quindi una dimostrazione "per assurdo"...); fu proprio questo risultato che disilluse Pitagora sulla sua convinzione che tutti i numeri fossero razionali.
Proprietà
- In geometria rappresenta il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato: di conseguenza è anche uguale al rapporto tra l'ipotenusa e un cateto in un triangolo isoscele rettangolo.
- √2 è non è un numero razionale, in quanto non esiste nessuna frazione che al quadrato vale 2; tuttavia è un numero reale algebrico: infatti è la radice positiva dell'equazione:
- I normali fogli di carta (A3, A4, A5...) hanno i lati il cui rapporto è proprio √2, in modo che dimezzando il foglio si ottiene un nuovo foglio simile a quello iniziale: infatti i due mezzi-fogli ottenuti hanno ancora i lati il cui rapporto è √2 !
^
Torna su
Costante di Teodoro
Simbolo: √3
Usato per: indicare il rapporto tra la diagonale e lo spigolo di un cubo
Valore approssimativo: 1.7320508076...
Classificazione: numero irrazionale, algebrico, reale.
Storia: sebbene il suo valore non fosse noto con precisione, in antichità il rapporto tra la diagonale interna e lo spigolo di un cubo era usato spesso.
Teodoro di Cirene, un importante pitagorico, dimostrò che non esisteva alcun numero razionale il cui quadrato fosse 3.
Nella storia questo numero è importante in quanto è anche il rapporto tra i cateti di un triangolo rettangolo con un angolo di 60°, quindi fu usato spesso in geometria e in arte.
Proprietà
- In geometria rappresenta il rapporto tra la diagonale interna e lo spigolo di un cubo.
- Consideriamo un triangolo rettangolo con un angolo di 60°, ossia la metà di un triangolo equilatero: esso ha il cateto minore che è metà dell'ipotenusa, di conseguenza (per il teorema di Piatagora) il rapporto tra i cateti è √3.
- √3 è non è un numero razionale, in quanto non esiste nessuna frazione che al quadrato vale 3.
È un numero reale algebrico, essendo è la radice positiva dell'equazione:
- Se riprendiamo un normale foglio di carta (A3, A4, A5...) il rapporto tra il lato minore e la diagonale è proprio √3 !
^
Torna su
<<< Precedente -
Successivo >>>
|