Introduzione - Monomi - Polinomi - Prodotti notevoli - La divisione

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CONTENUTO DELLA PAGINA
I Prodotti notevoli
Somma per differenza
Quadrato di un binomio
Quadrato di un trinomio
Potenza di un binomio

I Prodotti notevoli

Si parla di prodotti notevoli quando ci si riferisce a prodotti molto particolari tra polinomi, in cui il risultato è raggiungibile con alcune scorciatoie, evitando quindi di fare lunghi e noiosi calcoli.
Ecco i prodotti notevoli più ricorrenti:

Le lettere maiuscole indicano una qualunque espressione algebrica, in genere sono semplici monomi. Vediamo ora in dettaglio questi casi.

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Somma per differenza

Il primo prodotto notevole, quello che semplifica moltissimo i calcoli è il prodotto tra la somma di due termini e la loro differenza; i termini considerati possono essere espressioni algebriche qualunque: si applica ogni qual volta dobbiamo svolgere la moltiplicazione tra due polinomi quasi identici, dove però il secondo differisce dal primo per uno o più segni; il caso più comune è quello di due binomi in cui nel primo c'è una somma tra due monomi e nel secondo la loro differenza, formalmente: (a + b) · (a − b).

In questo file (pdf, 56kB) è mostrato uno schema grafico che aiuta a capire questa regola.

Questa regola si applica quindi quando si moltiplicano due binomi quasi uguali: nello specifico uno dei due termini del primo binomio si ripete in modo identico nel secondo, mentre l'altro termine cambia di segno.

Osservazione: vediamo un paio di applicazioni particolari di questa regola, con valori numerici:

• se b = 1, questa formula ci dice:

  (a + 1) · (a − 1)   =   a² − 1

  ossia: il prodotto tra due numeri che differiscono di 2 è uguale al quadrato del numero intermedio meno 1, ad esempio:

  101 × 99   =   100² − 1   =   10'000 − 1   =   9'999

  può esser comodo!
• con le radici quadrate, possiamo notare che:

  (√5 + √2) (√5 − √2)   =   5 − 2   =   3

  come conseguenza vale la regola che qualunque numero, anche se primo, può esser fattorizzato in espressioni contenenti numeri irrazionali.

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Quadrato di un binomio

Gli altri due prodotti notevoli rientrano nella regola del quadrato di un binomio, ossia il prodotto tra due binomi uguali, formalmente: (a + b)², dove le due lettere possono avere lo stesso segno (primo caso) o segno opposto (secondo caso).

Nel caso in cui il binomio possieda due termini concordi (ossia con lo stesso segno) possiamo descrivere graficamente in forma schematica il prodotto notevole in questo file (pdf, 54kB).

In altri termini: il quadrato di una somma tra due quantità non è solo la somma dei singoli quadrati ma, come si osserva dalle figure, saltano fuori due zone viola, ognuna delle quali è il prodotto dei due elementi.

Nel caso in cui invece si voglia calcolare il quadrato di una differenza, ossia quando il binomio è composto da due termini discordi (ossia con segno diverso), graficamente la situazione è un po' diversa dalla precedente, e possiamo capirlo osservando questo file (pdf, 56kB).

Da cui possiamo affermare che: il quadrato della differenza tra due numeri non è la differenza tra i due quadrati, bensì la somma tra i due quadrati, diminuita del doppio del loro prodotto (le solite zone viola...)

Osservazione: è comoda questa formula? a volte sì, in quanto possiamo usare il quadrato di una somma per risolvere potenze numeriche, come ad esempio:

25² = (20 + 5)² =

= (20)² + (5)² + (2)(20)(5) =

= 400 + 25 + 200 =

= 625

Possiamo anche sfruttare il quadrato di una differenza:

19² = (20 − 1)² =

= (20)² + (1)² − (2)(20)(1) =

= 400 + 1 − 40 =

= 361

In generale è utile quando dobbiamo studiare numeri vicini a numeri facili da calcolare.

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Quadrato di un trinomio

La regola del quadrato di un binomio può esser generalizzata nel caso del quadrato di un generico polinomio, considerando il polinomio come somma di due sotto-polinomi.

Ad esempio il quadrato di un trinomio la regola diventa:

(a + b + c)²   =   [ (a + b) + (c) ]²   =

=   (a + b)² + (c)² + (2)(a + b)(c)   =

=   a² + b² + 2ab + c² + 2ac + 2bc

I tre quadrati hanno sempre segno positivo, mentre i doppi prodotti hanno il segno opportuno, in base alle regole della moltiplicazione: termini concordi danno un prodotto positivo, termini discordi danno un prodotto negativo.

Con lo stesso procendimento usato per costruire il quadrato di un trinomio si possono ottenere i quadrati di polinomi con qualunque numero di termini.

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Potenza di un binomio

Il quadrato di un binomio e il cubo di un binomio rientrano nella regola generica della potenza generica di un binomio, (A + B)ⁿ, con n numero naturale.
La potenza di un binomio si sviluppa in un polinomio costruito nel seguente modo:

• il polinomio è formato da n+1 termini, ordinati secondo le potenze decrescenti di A e crescenti di B;
• il polinomio è omogeneo: mentre le potenze di A decrescono, quelle di B sono crescenti, in modo tale che ogni termine abbia grado n: ad esempio il primo è Aⁿ, il secondo Aⁿ⁻¹B, il terzo Aⁿ⁻²B², fino all'ultimo che è Bⁿ;
• i coefficienti per cui moltiplicare questi n+1 termini sono dati dalla corrispondente riga del triangolo di Tartaglia (la n+1 esima).

Quindi ad esempio, la terza potenza, ossia il cubo di un binomio, ha 4 termini e la struttura è data:

Altro esempio, la quinta potenza del binomio ha 6 termini i cui coefficienti sono dati dalla sesta riga del triangolo di Tartaglia:

(A + B)⁵ = (A⁵ + 5A⁴B + 10A³B² + 10A²B³ + 5AB⁴ + B⁵)

Per approfondire vedi il teorema binomiale di Newton.

Per concludere osserviamo che usare i prodotti notevoli non è obbligatorio per risolvere le espressioni algebriche, ma in alcune situazioni è molto conveniente; non saper i prodotti notevoli è come non saper usare un ascensore: si è costretti a fare ogni volta le scale!

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