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CONTENUTO DELLA PAGINA
Niccolò Tartaglia
Il triangolo di Tartaglia
Applicazioni del triangolo

Niccolò Tartaglia

Niccolò Fontana, detto Tartaglia, fu un importante matematico italiano vissuto nel XVI secolo.
Nacque a Brescia, poi si trasferì a Verona dove riuscì a trovare un metodo per risolvere le equazioni di III grado. In una celebre sfida con il rivale Antonio Maria Fiore i due matematici si scambiarono problemi di III grado da risolvere, e Tartaglia grazie alle sue scoperte riuscì a vincere la sfida.

Successivamente fu ospitato a Milano da Gerolamo Cardano, che ne pubblicò i risultati; in quegli anni scoprì anche le proprietà del triangolo numerico che porta il suo nome: il triangolo di Tartaglia; il secolo successivo Pascal riprese questi risultati applicandoli alla probabilità, per questo all'estero questo triangolo è anche detto triangolo di Pascal..

Gli anni successivi, in seguito ad una sfida persa con Ludovico Ferrari, dovette allontanarsi da Milano e si ritirò a Venezia.

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Il triangolo di Tartaglia

Il triangolo di Tartaglia è un triangolo formato da numeri naturali, disposti in righe, nel seguente modo:

• nel vertice in alto c'è solo il numero 1;
• ogni riga di numeri ha un numero in più di quella superiore;
• ogni riga inizia e finisce col numero 1;
• ogni altro numero è ottenuto sommando il numero superiore col precedente di quest'ultimo.

Usando queste regole viene fuori un triangolo isoscele rettangolo avente per base un cateto; a volte si preferisce riallineare le righe in modo da ottenere un normale triangolo isoscele.
Ecco le prime righe del triangolo:

Questo triangolo numerico ha moltissime proprietà e altrettante applicazioni, in particolare in algebra e in calcolo combinatorio, eccone alcune.

1. Il triangolo ha infinite righe; il numero di colonne aumenta scorrendo le righe.
2. In generale il numero di colonne di una riga è uguale al numero della riga + 1.
3. Ogni riga è simmetrica: è indifferente leggerla partendo da sinistra o da destra.
4. La somma dei numeri della riga 𝒩 fa sempre 2^𝒩;
5. La somma di tutti i numeri dalla riga 0 alla riga 𝒩 è sempre 2^𝒩+1 − 1

Secondo la definizione, il numero che si trova nella riga 𝒩 e nella colonna k (con k ≤ 𝒩), si ottiene come somma tra due numeri della riga 𝒩 − 1: quello della colonna k e quello della colonna k − 1.
Ad esempio 21 (riga 7, col 2) si ottiene come somma tra 15 (riga 6, col 2) e 6 (riga 6, col 1).
In alternativa, ogni numero diverso da 1 si può calcolare come somma tra tutti i numeri della colonna precedente, dalla prima riga possibile alla riga superiore al numero: ad esempio 56 (riga 8, col 3) si può ottenere come somma di tutti i numeri della colonna 2, dalla prima riga possibile (la riga 2) alla riga superiore di 56 (riga 7).

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Applicazioni del triangolo

Qualunque riga n del triangolo fornisce i coefficienti per lo sviluppo della potenza di un binomio (A + B)ⁿ, secondo il teorema di Newton; tali coefficienti sono detti per l'appunto coefficienti binomiali [vedi anche i prodotti notevoli].
Il coefficiente binomiale che si trova nella riga n e nella colonna k (con k ≤ n) è denotato con C _{n, k} :

Il coefficiente binomiale C _{n, k} indica il numero di sottoinsiemi di k elementi che si possono ottenere in un insieme di n elementi; per calcolare il coefficiente binomiale vale la formula:

Dove il punto esclamativo simboleggia l'operazione di fattoriale, ossia il prodotto dei primi n numeri naturali.

Il coefficiente binomiale C _{n, k} è molto usato nel calcolo combinatorio, in quanto rappresenta anche il numero di combinazioni possibili di ordine k, in un insieme di n elementi.

Infine, se si colorano i numeri pari e dispari i due modi diversi, si ottiene una figura frattale, ossia una figura le cui caratteristiche microscopiche si ripropongono anche a livello macroscopico; più in generale, scegliendo un numero naturale M e colorondo i numeri della tabella a seconda del resto della divisione per M, si ottiene una figura frattale multicolore.
Nella sezione download è possibile scaricare alcuni file sul triangolo di Tartaglia, comprese alcune rappresentazioni come frattale.

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