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Isaac Newton


Sir Isaac Newton fu un importante matematico, fisico e filosofo inglese, vissuto tra il XVII e il XVIII secolo. Nato nel 1643, orfano di padre, la madre si risposò e lui visse con i nonni; di carattere introverso, paranoico e non molto gradevole, non ebbe relazioni sentimentali di rilievo e i conoscenti affarmavano di non vederlo quasi mai ridere.

Da giovane studiò al Trinity College di Cambridge, facendo invenzioni e scoperte in ambito matematico (studiando le proprietà delle serie numeriche, le potenze del binomio e inventando il calcolo infinitesimale) e fisico (scoprendo la legge di gravitazione, studiando la relatività del moto e i fenomeni ottici) e dando un grande contributo allo sviluppo del metodo scientifico.
Celebre fu l'aneddoto per il quale Newton si trovava sotto un melo, quando gli cadde una mela in testa, e ciò gli suscitò il desiderio e la curiosità di investigare sulle leggi che regolano l'attrazione dei corpi, in particolare quelli celesti.

I suoi studi in ambito matematico lo portarono ad una acerrima rivalità con Liebnitz, in particolare riguardo l'invenzione del calcolo infinitesimale e lo studio di serie e integrali. La sua più importante opera fu, in collaborazione con Halley, "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", noto semplicemente come Principia, un trattato di fisica riguardante tutte le sue conoscenze sulla dinamica, sulla relatività, e sull'astronomia.

Nel 1699 divenne direttore della Zecca inglese, facendo importante riforme, e in seguito nel 1703 presidente della Royla Society e associato dell'Accademia francese delle Scienze; infine nel 1705 fu nominato cavaliere; mor` a Londra nel 1727 e fu sepolto nell'abbazia di Westminster.

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Teorema binomiale di Newton


Il teorema binomiale aiuta a calcolare la potenza di un binomio, per mezzo di una regola, generalizzando i noti prodotti notevoli (quadrato del binomio e cubo nel binomio).
La formula del teorema è:

Teorema di Newton

(a + b) n = Σ k ( C n, k a n−k b k )

Essendo C n, k il coefficiente binomiale, ottenibile dal triangolo di Tartaglia in cui n indica la riga, k la colonna, o dato dalla formula:

Coefficiente binomiale

C n, k   =  
n !
k ! · (n − k) !

Ad esempio se n = 6, guardando il triangolo di tartaglia, la riga 6 è formata dai numeri:
1   6   15   20   15   6   1

Quindi C 6, 3 è il numero della colonna 3, ossia il 20 (dato che le righe e le colonne partono da 0, la colonna 3 corrisponde al quarto numero da sinitra); analogamente C 6, 4 = 15.

Il termine Σ k indica la sommatoria di tutti i termini nella parentesi tonda, in cui n resta sempre lo stesso numero, mentre i valori di k vanno da 0 fino ad n: se ad esempio n = 5, allora k corrisponde a tutti i numeri da 0 a 5 e otteniamo una somma di 6 termini diversi, in ognuno dei quali le potenze di a vanno diminuendo, quelle di b aumentando.

Vediamo 3 esempi semplici:

Esempio 1. Calcoliamo lo sviluppo del binomio con esponente n = 2.

Nel caso in cui n = 2, abbiamo che la potenza (a + b) 2 corrisponde a:

(C 2, 0 a2 b0) + (C 2, 1 a1 b1) + (C 2, 2 a0 b2) =

= a2 + 2ab + b2

Ossia otteniamo la normale regola del quadrato di un binomio, dei prodotti notevoli.


Esempio 2. Calcoliamo lo sviluppo del binomio con esponente n = 3.

Nel caso in cui n = 3, abbiamo che la potenza (a + b) 3 corrisponde a:

(C 3,0 a3 b0) + (C3,1 a2 b1) + (C3,2 a1 b2) + (C3,3 a0 b3) =

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ossia otteniamo la normale regola del cubo di un binomio.


Esempio 3. Calcoliamo lo sviluppo del binomio con esponente n = 5.

Nel caso in cui n = 5, abbiamo che la potenza (a + b) 5 corrisponde a:

(C 5,0 a5b0) + (C 5,1 a4b1) + (C 5,2 a3b2) +
+ (C 5,3 a2b3) + (C 5,4 a1b4) + (C 5,5 a0b5) =

= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Osservazioni:

  • i coefficienti binomiali di ogni riga sono speculari: si parte da 1, si cresce e poi si ritorna a 1;
  • il polinomio ottenuto con questa regola è simmetrico, ossia quello che accade alla lettera a, accade anche alla lettera b, per cui queste possono scambiarsi di posizione;
  • ogni lettera compare nel polinomio con tutte le potenze possibili fino a quella massima (data da n) e la somma degli esponenti di a e di b è sempre uguale ad n.

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Legge di gravitazione universale


Newton osservò che tutti i corpi celesti, cosi come gli oggetti sulla terra, sono soggetti alla stessa forza di attrazione, che dipende solamente dalla massa dei corpi e dalla loro distanza.
In particolare la forza con cui due corpi si attraggono reciprocamente è:

Legge di Newton

F G   =   G ·
m 1 · m 2
d 2

Tale forza è sempre attrattiva (al contrario della forza elettrica descritta dalla legge di Coulomb), ed è:

  • direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei due corpi;
  • direttamente proporzionale ad ognuna delle due masse, se l'altra è costante;
  • inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Il termine G nella formula è la costante di proporzionalità, ed è chiamata per l'appunto costante della legge di Newton o costante di gravitazione universale e vale circa:

G = 6,672 · 10-11 N·m²/kg²

Esempio 4. Calcoliamo la forza che agisce tra la Terra e il Sole.

Dati:
massa della Terra:   m T ≈ 5,972 · 1024kg;
massa del Sole:   m S ≈ 1,989 · 1030kg;
distanza Terra-Sole:   d ≈ 1,496 · 1011m.

Svolgimento. Applichiamo la formula con i dati che abbiamo (senza trascrivere, per comodità, le unità di misura):

F G   =   G   ·
m T · m S
d2
  =
= 6,672·10-11 ·
(1,989·1030) · (5,972·1024)
(1,496·1011)2
=
=  
79,25·1043
2,238·1022
  =

=   35,41 · 1021

Conclusione: la forza che agisce tra la Terra e il Sole vale circa 3,541 · 1022N.

Osservazione: da questa formula possiamo ricavare anche la norma formula per calcolare il peso di un corpo sulla terra: infatti se vogliamo calcolare tale forza, dobbiamo impostare:

  • m 1 → massa della Terra: m T = 5,972 · 1024 kg
  • m 2 → massa generica di una corpo sulla terra m c
  • d → raggio medio della terra R T = 6,371 · 106 m

La legge di Newton può esser riscritta in questo modo:

FP   =   m c ·
G ·mT
RT2

e il termine in frazione equivale a 9,81 m/s², ossia la normale costante di accelerazione gravitazionale terrestre g, quindi la formula diventa:

F P = mc · g

che è la formula per calcolare normalmente il peso di un corpo sulla Terra.

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